Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)+3{{x}^{2021}}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\left[ -2021;2021 \right]$ để bất phương trình $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)+f\left( -2mx \right)\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right)$.
A. $2023$.
B. $4020$.
C. $4022$.
D. $2021$.
A. $2023$.
B. $4020$.
C. $4022$.
D. $2021$.
Tập xác định: $D=x\in \mathbb{R}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)\ln 3}+6063{{x}^{2020}}>0$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta thấy:
$f\left( -x \right)={{\log }_{3}}\left( \sqrt{4{{\left( -x \right)}^{2}}+1}+2\left( -x \right) \right)+3{{\left( -x \right)}^{2021}}={{\log }_{3}}{{\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)}^{-1}}-3{{x}^{2021}}=-f\left( x \right)$
Vậy $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Khi đó: $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge -f\left( -2mx \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( 2mx \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1\ge 2mx\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}\ge 2m,\forall x>0$.
Xét $g\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x},\forall x>0\Rightarrow {g}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\left( L \right) \\
& x=1\left( N \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$ :
Theo yêu cầu bài toán thì $2m\le 2\Leftrightarrow m\le 1.$
Vì $m\in \left[ -2021;2021 \right]\Rightarrow $ số giá trị của $m$ bằng: $\left( 1-\left( -2021 \right) \right)+1=2023$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)\ln 3}+6063{{x}^{2020}}>0$ $\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta thấy:
$f\left( -x \right)={{\log }_{3}}\left( \sqrt{4{{\left( -x \right)}^{2}}+1}+2\left( -x \right) \right)+3{{\left( -x \right)}^{2021}}={{\log }_{3}}{{\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+1}+2x \right)}^{-1}}-3{{x}^{2021}}=-f\left( x \right)$
Vậy $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Khi đó: $f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge -f\left( -2mx \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge f\left( 2mx \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1\ge 2mx\Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x}\ge 2m,\forall x>0$.
Xét $g\left( x \right)=x+\dfrac{1}{x},\forall x>0\Rightarrow {g}'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\left( L \right) \\
& x=1\left( N \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=g\left( x \right)$ :
Vì $m\in \left[ -2021;2021 \right]\Rightarrow $ số giá trị của $m$ bằng: $\left( 1-\left( -2021 \right) \right)+1=2023$.
Đáp án A.