Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$. Biết rằng $f\left( x \right)>0,$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right)\left( \ln f\left( x \right)-1 \right)+x\left( {f}'\left( x \right)-2f\left( x \right) \right)=0$ và $f\left( 1 \right)={{e}^{2}}.$ Giá trị tích phân $\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}$ nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0;6 \right)$
B. $\left( 6;12 \right)$
C. $\left( 18;24 \right)$
D. $\left( 12;18 \right)$
A. $\left( 0;6 \right)$
B. $\left( 6;12 \right)$
C. $\left( 18;24 \right)$
D. $\left( 12;18 \right)$
Do $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ nên giả thiết $f\left( x \right)\left( \ln f\left( x \right)-1 \right)+x\left( {f}'\left( x \right)-2f\left( x \right) \right)=0$
Ta có $\ln f\left( x \right)-1+\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \ln f\left( x \right)+\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \right]=2x+1\Leftrightarrow {{\left[ x\ln f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=2x+1$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $x.\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+C$
Thay $x=1$ ta được $1.\ln {{e}^{2}}=2+C\Leftrightarrow C=0\Leftrightarrow x\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x+1$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{x+1}}\left( x>0 \right)$
Khi đó $\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{x.{{e}^{x+1}}dx}\approx 20,08.$
Ta có $\ln f\left( x \right)-1+\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \ln f\left( x \right)+\dfrac{x.{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \right]=2x+1\Leftrightarrow {{\left[ x\ln f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=2x+1$
Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $x.\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+x+C$
Thay $x=1$ ta được $1.\ln {{e}^{2}}=2+C\Leftrightarrow C=0\Leftrightarrow x\ln f\left( x \right)={{x}^{2}}+x\Leftrightarrow \ln f\left( x \right)=x+1$ $\Leftrightarrow f\left( x \right)={{e}^{x+1}}\left( x>0 \right)$
Khi đó $\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{x.{{e}^{x+1}}dx}\approx 20,08.$
Đáp án C.