Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)={{e}^{-f\left( x \right)}}\left( 2x+3 \right),$ $f\left( 0 \right)=\ln 2.$ Tính $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}?$
A. $6\ln 2-2.$
B. $6\ln 2+2.$
C. $6\ln 2+3.$
D. $6\ln 2-3.$
A. $6\ln 2-2.$
B. $6\ln 2+2.$
C. $6\ln 2+3.$
D. $6\ln 2-3.$
Ta có ${f}'\left( x \right)={{e}^{-f\left( x \right)}}\left( 2x+3 \right)\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}.{f}'\left( x \right)=2x+3\Leftrightarrow \int{{{e}^{f\left( x \right)}}d\left( f\left( x \right) \right)}={{x}^{2}}+3x+C$
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}={{x}^{2}}+3x+C$ mà $f\left( 0 \right)=\ln 2\Rightarrow C=2\Rightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}={{x}^{2}}+3x+2.$
Do đó $f\left( x \right)=\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|.$
Vậy $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|dx}=6\ln 2-2.$ (bấm casio)
$\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}={{x}^{2}}+3x+C$ mà $f\left( 0 \right)=\ln 2\Rightarrow C=2\Rightarrow {{e}^{f\left( x \right)}}={{x}^{2}}+3x+2.$
Do đó $f\left( x \right)=\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|.$
Vậy $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\ln \left| {{x}^{2}}+3x+2 \right|dx}=6\ln 2-2.$ (bấm casio)
Đáp án A.