Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ , đồ thị...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

, đồ thị hàm số

y = f (x)

đi qua điểm

A (1; 0)

và nhận điểm

I (2; 2)

làm tâm đối xứng. Giá trị của

\int_{1}^{3} x (x - 2) [f (x) + f^{'} (x)] d x

bằng
A.

- \frac{8}{3}

.
B.

- \frac{16}{3}

.
C.

\frac{16}{3}

.
D.

\frac{8}{3}

.

Cách 1 : Đặt

t = 4 - x \Rightarrow d t = - d x

.
Đồ thị hàm số

y = f (x)

có

I (2; 2)

là tâm đối xứng nên

\frac{f (x) + f (4 - x)}{2} = 2

.
Như vậy

f (x) + f (4 - x) = 4 \Rightarrow f^{'} (x) - f^{'} (4 - x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = f^{'} (4 - x), \forall x \in R

.
Ta có

I = \int_{1}^{3} x (x - 2) [f (x) + f^{'} (x)] d x

= \int_{1}^{3} (4 - t) (2 - t) [f (4 - t) + f^{'} (4 - t)] d t

= \int_{1}^{3} (t^{2} - 6 t + 8) [4 - f (t) + f^{'} (t)] d t

= \int_{1}^{3} 4 (t^{2} - 6 t + 8) d t - \int_{1}^{3} [t^{2} - 2 t - 4 (t - 2)] . [f (t) + f^{'} (t)] d t + \int_{1}^{3} 2 (t^{2} - 6 t + 8) f^{'} (t) d t

= 2. \int_{1}^{3} (t^{2} - 6 t + 8) d t + \int_{1}^{3} 2 (t - 2) [f (t) + f^{'} (t)] d t + \int_{1}^{3} (t^{2} - 6 t + 8) f^{'} (t) d t

= \int_{1}^{3} (t^{2} - 6 t + 8) d t + \int_{1}^{3} (2 t - 4) f (t) d t + \int_{1}^{3} (t^{2} - 4 t + 4) f^{'} (t) d t

= {(\frac{t^{3}}{3} - 3 t^{2} + 8 t) |}_{1}^{3} + {(t^{2} - 4 t + 4) f (t) |}_{1}^{3} = \frac{16}{3}

.
Cách 2 : Chọn hàm

f (x) = a {(x - 2)}^{3} + 2

. Ta có

A (1; 0) \in

đồ thị

(C) : y = f (x)

.
Khi đó

a {(- 1)}^{3} + 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow f (x) = 2 {(x - 2)}^{3} + 2

và có

f^{'} (x) = 6 {(x - 2)}^{2}

.
Do đó

\int_{1}^{3} x (x - 2) [f (x) + f^{'} (x)] d x = \int_{1}^{3} x (x - 2) [2 {(x - 2)}^{3} + 6 {(x - 2)}^{2}] d x = \frac{16}{3}

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R, đồ thị...