Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết...

Bước 1: Phương trình $f(x^4-2x^2+2)=0$ có $8$ nghiệm
$\iff {(x^2-1)}^2+1=a\iff x^2-1=\pm \sqrt{a-1}\iff x=\pm \sqrt{1\pm \sqrt{a-1}}$
Điều kiện bắt buộc: $\{\begin{array}{c}1-\sqrt{a-1}>0\\ a-1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a-1<1\\ a\ge 1\end{array}\Rightarrow 1\le a<2$
$\Rightarrow$ Để $f(x^4-2x^2+2)=0$ có $8$ nghiệm phân biệt thì $f\left(x\right)=0$ có $2$ nghiệm thuộc khoảng $[1;2)$ mà $f\left(x\right)=0$ có $8$ nghiệm dương nên suy ra:
$phuongtrinhf\left(x\right)=0co8nghiem\{\begin{array}{rl}& 2nghiem\in [1;2)\\ & 6nghiem\in (0;1)\cup [2;+\mathrm{\infty })\end{array}$
Bước 2: Phương trình $f(2x^3-3x^2+1)=0$ có $20$ nghiệm phân biệt
Xét hàm số $y=2x^3-3x^2+1$, ta có:
$\left(1\right):\{\begin{array}{c}2x^3-3x^2+1=1\left(2nghiem\right)\\ 2x^3-3x^2+1=0\left(2nghiem\right)\end{array}$ và các nghiệm $\left(1\right)$ nằm trong khoảng $(0;1)\cup [2;+\mathrm{\infty })$
Nếu như tồn tại $6$ điểm $x_1,x_2,...,x_6\in (0;1)$ sao cho $2x^3-3x^2+1=x_1,x_2,...,x_6$, mà mỗi phương trình có 3 nghiệm thì tổng cộng đã có 18 nghiệm cộng với $2nghiem\in [1;2)$
$\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có $\{\begin{array}{c}2nghiem\in [1;2)\\ 6nghiem\in (0;1)\\ 0nghiem\in (2;+\mathrm{\infty })\end{array}$.