Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết...

Bước 1: Phương trình $f\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2 \right)=0$ có $8$ nghiệm
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+1=a\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=\pm \sqrt{a-1}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{1\pm \sqrt{a-1}}$
Điều kiện bắt buộc: $\left\{ \begin{matrix}
1-\sqrt{a-1}>0 \\
a-1\ge 0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a-1<1 \\
a\ge 1 \\
\end{matrix}\Rightarrow 1\le a<2 \right. \right.$
$\Rightarrow $ Để $f\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2 \right)=0$ có $8$ nghiệm phân biệt thì $f\left( x \right)=0$ có $2$ nghiệm thuộc khoảng $\left[ 1 ; 2 \right)$ mà $f\left( x \right)=0$ có $8$ nghiệm dương nên suy ra:
$phuongtrinhf\left( x \right)=0co8nghiem\left\{ \begin{aligned}
& 2nghiem\in \left[ 1;2 \right) \\
& 6nghiem\in \left( 0;1 \right)\cup \left[ 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$
Bước 2: Phương trình $f\left( 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1 \right)=0$ có $20$ nghiệm phân biệt
Xét hàm số $y=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$, ta có:
$\left( 1 \right):\left\{ \begin{matrix}
2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=1 \left( 2 nghiem \right) \\
2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1=0 \left( 2 nghiem \right) \\
\end{matrix} \right. $ và các nghiệm $ \left( 1 \right) $ nằm trong khoảng $ \left( 0 ; 1 \right)\cup \left[ 2 ; +\infty \right)$
Nếu như tồn tại $6$ điểm ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}, ..., {{x}_{6}} \in \left( 0 ; 1 \right)$ sao cho $2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1={{x}_{1}}, {{x}_{2}}, ..., {{x}_{6}}$, mà mỗi phương trình có 3 nghiệm thì tổng cộng đã có 18 nghiệm cộng với $2 nghiem \in \left[ 1 ; 2 \right)$
$\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có $\left\{ \begin{matrix}
2 nghiem \in \left[ 1 ; 2 \right) \\
6 nghiem\in \left( 0 ; 1 \right) \\
0 nghiem \in \left( 2 ; +\infty \right) \\
\end{matrix} \right.$.