Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R},$ bảng biến thiên của hàm số $f'\left( x \right)$ như sau:
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)$ là
A. 8
B. 7
C. 1
D. 3
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)$ là
A. 8
B. 7
C. 1
D. 3
Ta có $g'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.f'\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right).$ Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \dfrac{x+1}{x-1}=a,a<-1 \\
& \dfrac{x+1}{x-1}=b,-1<b<0 \\
& \dfrac{x+1}{x-1}=c,0<c<2 \\
& \dfrac{x+1}{x-1}=d,d>2 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}.$
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$ Ta có $h'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình $h\left( x \right)=a,h\left( x \right)=b,h\left( x \right)=c,h\left( x \right)=d$ đều có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $f\left( x \right)=f\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)$ có 8 cực trị.
& \dfrac{x+1}{x-1}=a,a<-1 \\
& \dfrac{x+1}{x-1}=b,-1<b<0 \\
& \dfrac{x+1}{x-1}=c,0<c<2 \\
& \dfrac{x+1}{x-1}=d,d>2 \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{x+1}{x-1}.$
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.$ Ta có $h'\left( x \right)=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: Phương trình $h\left( x \right)=a,h\left( x \right)=b,h\left( x \right)=c,h\left( x \right)=d$ đều có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $f\left( x \right)=f\left( \dfrac{x+1}{x-1} \right)$ có 8 cực trị.
Đáp án A.