Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $3x.f\left( x \right)-{{x}^{2}}f'\left( x \right)=2{{f}^{2}}\left( x \right)$, với $f\left( x \right)\ne 0,\ \forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ và $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3}$. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$. Khi đó $M+m$, bằng:
A. $\dfrac{9}{10}.$
B. $\dfrac{21}{10}.$
C. $\dfrac{7}{3}.$
D. $\dfrac{5}{3}.$
A. $\dfrac{9}{10}.$
B. $\dfrac{21}{10}.$
C. $\dfrac{7}{3}.$
D. $\dfrac{5}{3}.$
Ta có $\begin{aligned}
& 3x.f\left( x \right)-{{x}^{2}}f'\left( x \right)=2{{f}^{2}}\left( x \right)\Rightarrow 3{{x}^{2}}f\left( x \right)-{{x}^{3}}f'\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right) \\
& \Rightarrow \dfrac{3{{x}^{2}}f\left( x \right)-{{x}^{3}}f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{f\left( x \right)} \right)}^{'}}=2x\Rightarrow \dfrac{{{x}^{3}}}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C. \\
\end{aligned}$
Thay $x=1$ vào ta được $\dfrac{1}{f\left( 1 \right)}=1+C$, vì $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3}$ nên suy ra $C=2$.
Nên $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+2}$. Ta có $f'x=\dfrac{{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}};\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0.$
Khi đó, $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ 1;2 \right]$. Suy ra $m=f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3};\ M=f\left( 2 \right)=\dfrac{4}{3}.$
Suy ra $M+m=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3}.$
& 3x.f\left( x \right)-{{x}^{2}}f'\left( x \right)=2{{f}^{2}}\left( x \right)\Rightarrow 3{{x}^{2}}f\left( x \right)-{{x}^{3}}f'\left( x \right)=2x{{f}^{2}}\left( x \right) \\
& \Rightarrow \dfrac{3{{x}^{2}}f\left( x \right)-{{x}^{3}}f'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=2x\Rightarrow {{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{f\left( x \right)} \right)}^{'}}=2x\Rightarrow \dfrac{{{x}^{3}}}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C. \\
\end{aligned}$
Thay $x=1$ vào ta được $\dfrac{1}{f\left( 1 \right)}=1+C$, vì $f\left( 1 \right)=\dfrac{1}{3}$ nên suy ra $C=2$.
Nên $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+2}$. Ta có $f'x=\dfrac{{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}};\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0.$
Suy ra $M+m=\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3}.$
Đáp án D.