Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên trục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9+\int\limits_{0}^{1}{xf\left( \sqrt{1+15{{x}^{2}}} \right)dx}$. Đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-9$ cắt đồ thị $y=f\left( x \right)$ tại ba điểm phân biệt có hoanhf độ lần lượt là $1 ; 2 ; 4$. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ có diện tích bằng:
A. $\dfrac{23}{12}$.
B. $\dfrac{1}{24}$.
C. $\dfrac{13}{24}$.
D. $\dfrac{37}{12}$
A. $\dfrac{23}{12}$.
B. $\dfrac{1}{24}$.
C. $\dfrac{13}{24}$.
D. $\dfrac{37}{12}$
Đặt $k=\int\limits_{0}^{1}{xf\left( \sqrt{1+15{{x}^{2}}} \right)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{t}{15}}f\left( t \right)dt=\dfrac{1}{15}\int\limits_{1}^{4}{x}f\left( x \right)dx\Leftrightarrow 15k=\int\limits_{1}^{4}{x}f\left( x \right)dx \left( 1 \right)$.
Khi đó $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-9+k\Rightarrow x.f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9x+kx$ thay vào $\left( 1 \right)$, ta được:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 15k=\int\limits_{1}^{4}{\left( 2{{x}^{3}}-9x+kx \right)dx}\Leftrightarrow 15k=\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-\dfrac{9}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{k}{2}{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=8\Rightarrow f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-1$.
Mặt khác: $g\left( x \right)-f\left( x \right)=a\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$.
$\Leftrightarrow g\left( x \right)-f\left( x \right)=a\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=a{{x}^{3}}+\left( b-2 \right){{x}^{2}}+cx-8$.
Cho $x=0\Rightarrow -8a=-8\Rightarrow a=1$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ bằng:
$S=\int\limits_{1}^{4}{\left| \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right) \right|}dx=\dfrac{37}{12}$.
Khi đó $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-9+k\Rightarrow x.f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9x+kx$ thay vào $\left( 1 \right)$, ta được:
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 15k=\int\limits_{1}^{4}{\left( 2{{x}^{3}}-9x+kx \right)dx}\Leftrightarrow 15k=\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-\dfrac{9}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{k}{2}{{x}^{2}} \right)\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k=8\Rightarrow f\left( x \right)=2{{x}^{2}}-1$.
Mặt khác: $g\left( x \right)-f\left( x \right)=a\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-9 \right)-\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)$.
$\Leftrightarrow g\left( x \right)-f\left( x \right)=a\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)=a{{x}^{3}}+\left( b-2 \right){{x}^{2}}+cx-8$.
Cho $x=0\Rightarrow -8a=-8\Rightarrow a=1$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ bằng:
$S=\int\limits_{1}^{4}{\left| \left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right) \right|}dx=\dfrac{37}{12}$.
Đáp án D.