Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( x \right)=3f\left( 2x \right), \forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 4 \right)=3$ và $F\left( 2 \right)+4F\left( 8 \right)=0.$ Khi đó $\int\limits_{2}^{8}{f\left( x \right)}\text{d}x$ bằng
A. $-15.$
B. $15.$
C. $75.$
D. $-75.$
A. $-15.$
B. $15.$
C. $75.$
D. $-75.$
Có: $f\left( x \right)=3f\left( 2x \right), \forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow \int\limits_{2}^{4}{f(x)dx}=3\int\limits_{4}^{8}{f(2x)dx}\Leftrightarrow \int\limits_{2}^{4}{f(x)dx}=\dfrac{3}{2}\int\limits_{2}^{4}{f(2x)d(2x)}$
$\left. \Leftrightarrow F(x) \right|_{2}^{4}=\dfrac{3}{2}\left. F(x) \right|_{4}^{8}\Leftrightarrow F(4)-F(2)=\dfrac{3}{2}\!\![\!\!F(8)-F(4)\!\!]\!\!$
Mà $F\left( 4 \right)=3$ và $F\left( 2 \right)=-4F\left( 8 \right)$ nên $3+4F(8)=\dfrac{3}{2}\!\![\!\!F(8)-3\!\!]\!\!\Rightarrow F(8)=-3$ và $F(2)=12$
Vậy $\int\limits_{2}^{8}{f\left( x \right)}\text{d}x=F(8)-F(2)=-15$.
$\left. \Leftrightarrow F(x) \right|_{2}^{4}=\dfrac{3}{2}\left. F(x) \right|_{4}^{8}\Leftrightarrow F(4)-F(2)=\dfrac{3}{2}\!\![\!\!F(8)-F(4)\!\!]\!\!$
Mà $F\left( 4 \right)=3$ và $F\left( 2 \right)=-4F\left( 8 \right)$ nên $3+4F(8)=\dfrac{3}{2}\!\![\!\!F(8)-3\!\!]\!\!\Rightarrow F(8)=-3$ và $F(2)=12$
Vậy $\int\limits_{2}^{8}{f\left( x \right)}\text{d}x=F(8)-F(2)=-15$.
Đáp án A.
