Cho hàm số $f\left( x \right)$ Hàm số ${f}'\left( x \right)$...

Ta có $g\left( x \right)=f\left( 2\text{x} \right)+\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{1}{2}$
Đặt $t=2x.$ Với $x\in \left[ -1;1 \right]$ thì $t\in \left[ -2;2 \right].$
Khi đó ta có: $h\left( t \right)=f\left( t \right)+\dfrac{1}{2}\cos t-\dfrac{1}{2}\Rightarrow {h}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-\dfrac{1}{2}\sin t.$
Từ bảng biến thiên ta thấy :
+) Với $t\in \left( -2;0 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)>0$ và $\sin t<0\Rightarrow {h}'\left( t \right)>0.$
+) Với $t\in \left( 0;2 \right)$ thì ${f}'\left( t \right)<0$ và $\sin t>0\Rightarrow {h}'\left( t \right)<0.$
+) Với $t=0$ thì ${f}'\left( t \right)=0$
Từ đó ta có BBT sau :
Vậy $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} h\left( t \right)=h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right).$
Cách 2 :
Ta có $g\left( x \right)=f\left( 2x \right)={{\sin }^{2}}x\le f\left( 2x \right)$ với $\forall x\in \left[ -2;2 \right].$
Đặt $t=2\text{x}.$ Với $x\in \left[ -1;1 \right]$ thì $t\in \left[ -2;2 \right].$
Xét hàm $f\left( t \right)$ với $t\in \left[ -2;2 \right].$
Ta có BBT
$\Rightarrow g\left( x \right)\le f\left( t \right)\le f\left( 0 \right)$ với $\forall x\in \left[ -1;1 \right].$
Lại có $g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)$ nên $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right)$
Nhận xét : Với lời giải như cách 2 ta thấy bài toán có thể tổng quát hóa bằng cách thay ${{\sin }^{2}}x$ bởi ${{\sin }^{2n}}x$ thì kết quả không thay đổi.