Cho hàm số $f\left( x \right)={{e}^{2022x}}-{{e}^{-2022x}}+{{\ln...

Hàm số $f\left(x\right)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ nên $\mathrm{\forall }x\in D\Rightarrow -x\in D$.
Ta có $f(-x)=e^{-2022x}-e^{2022x}+{\ln }^{2023}(-x+\sqrt{{(-x)}^2+1})=e^{-2022x}-e^{2022x}+{\ln }^{2023}(-x+\sqrt{x^2+1})$
$=e^{-2022x}-e^{2022x}+{\ln }^{2023}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}}=e^{-2022x}-e^{2022x}-{\ln }^{2023}(x+\sqrt{x^2+1})=-f\left(x\right)$.
Do đó $f\left(x\right)$ là hàm số lẻ. Suy ra $f(x-x^2-\ln x^2)=-f(\ln x^2+x^2-x)$.
Mặt khác ta có $f^{\prime }\left(x\right)=2022e^{2022x}+2022e^{-2022x}+2023.{\ln }^{2022}(x+\sqrt{x^2+1}).{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$, suy ra hàm số $f\left(x\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Khi đó phương trình $f(e^{x+m}+m)+f(x-x^2-\ln x^2)=0$ $\iff f(e^{x+m}+m)=f(\ln x^2+x^2-x)$
$e^{x+m}+m=\ln x^2+x^2-x\iff e^{x+m}+x+m=\ln x^2+x^2\iff e^{x+m}+x+m=e^{\ln x^2}+\ln x^2(\ast )$.
Xét hàm số $g\left(t\right)=e^t+t\Rightarrow g^{\prime }\left(t\right)=e^t+1>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$.
Suy ra hàm số $g\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$(\ast )$ có dạng $g(x+m)=g(\ln x^2)$. Do đó $x+m=\ln x^2\iff m=\ln x^2-x$.
Xét hàm số $h\left(x\right)=\ln x^2-x\Rightarrow h^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}-1\Rightarrow h^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=2$.
BBT:
Phương trình $f(e^{x+m}+m)+f(x-x^2-\ln x^2)=0$ có ba nghiệm phân biệt $\iff m<2\ln 2-2$.
Mà $m\in (-25;25),m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-24;-23;...;-1\}$.
Vậy có 24 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn bài toán đã cho.