Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\left[ 1;3 \right]$, thỏa mãn ${{x}^{2}}+4{{x}^{2}}f\left( x \right)={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}$, $\forall x\in \left[ 1;3 \right]$, $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{4}$. Tính $I=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}$.
A. $\dfrac{20}{3}$.
B. $\dfrac{117}{15}$.
C. $\dfrac{23}{3}$.
D. $\dfrac{233}{30}$.
A. $\dfrac{20}{3}$.
B. $\dfrac{117}{15}$.
C. $\dfrac{23}{3}$.
D. $\dfrac{233}{30}$.
Xét hàm $f\left( x \right)$ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên $\left[ 1;3 \right]$, ta có
$\begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4{{x}^{2}}f\left( x \right)={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( 1+4f\left( x \right) \right)={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{2{f}'\left( x \right)}{\sqrt{1+4f\left( x \right)}}=2x\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{1+4f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=2x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{1+4f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C. \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{4}$ nên $C=-1$. Do đó $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1}{4}$.
Vậy $I=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1}{4}\text{d}x}=\dfrac{233}{30}$.
$\begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4{{x}^{2}}f\left( x \right)={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( 1+4f\left( x \right) \right)={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{2{f}'\left( x \right)}{\sqrt{1+4f\left( x \right)}}=2x\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{1+4f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=2x \\
& \Leftrightarrow \sqrt{1+4f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C. \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{4}$ nên $C=-1$. Do đó $f\left( x \right)=\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1}{4}$.
Vậy $I=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}-1}{4}\text{d}x}=\dfrac{233}{30}$.
Đáp án D.