Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$, đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ là đường cong trong hình bên. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2{{x}^{2}}$ trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ lần lượt là
A. $f\left( 0 \right)$ và $f\left( 4 \right)-8$.
B. $f\left( 0 \right)$ và $f\left( -1 \right)-2$
C. $f\left( 4 \right)-8$ và $f\left( 1 \right)-2$.
D. $f\left( 16 \right)-32$ và $f\left( -1 \right)-2$.
A. $f\left( 0 \right)$ và $f\left( 4 \right)-8$.
B. $f\left( 0 \right)$ và $f\left( -1 \right)-2$
C. $f\left( 4 \right)-8$ và $f\left( 1 \right)-2$.
D. $f\left( 16 \right)-32$ và $f\left( -1 \right)-2$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2{{x}^{2}}$ với $x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{2}}\in [0;4]$
Ta có: ${g}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-4x=2x\left[ {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2\notin \left[ -1;2 \right] \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{x}^{2}}\in [0;4]$ thì ${f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 2\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2\ge 0$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
So sánh: $f\left( 1 \right)-2$ với $f\left( 4 \right)-8$
Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi: $y={f}'\left( x \right)$, $y=2$, $x=1$, $x=4$ có diện tích là $S$.
$S=\int\limits_{1}^{4}{\left| f'\left( x \right)-2 \right|.dx}=\int\limits_{1}^{4}{\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right].dx}=\left. \left( f\left( x \right)-2x \right) \right|_{1}^{4}=f\left( 4 \right)-8-\left( f\left( 1 \right)-2 \right)$.
$S>0\Rightarrow f\left( 4 \right)-8-\left( f\left( 1 \right)-2 \right)>0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)-8>f\left( 1 \right)-2$.
Vậy: $\underset{[-1;2]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right)$ và $\underset{[-1;2]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=f\left( 4 \right)-8$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-4x=2x\left[ {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}} \right)=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=0 \\
& {{x}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2\notin \left[ -1;2 \right] \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Với ${{x}^{2}}\in [0;4]$ thì ${f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 2\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2\ge 0$.
Bảng biến thiên của $g\left( x \right)$
So sánh: $f\left( 1 \right)-2$ với $f\left( 4 \right)-8$
Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi: $y={f}'\left( x \right)$, $y=2$, $x=1$, $x=4$ có diện tích là $S$.
$S=\int\limits_{1}^{4}{\left| f'\left( x \right)-2 \right|.dx}=\int\limits_{1}^{4}{\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right].dx}=\left. \left( f\left( x \right)-2x \right) \right|_{1}^{4}=f\left( 4 \right)-8-\left( f\left( 1 \right)-2 \right)$.
$S>0\Rightarrow f\left( 4 \right)-8-\left( f\left( 1 \right)-2 \right)>0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)-8>f\left( 1 \right)-2$.
Vậy: $\underset{[-1;2]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=f\left( 0 \right)$ và $\underset{[-1;2]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=f\left( 4 \right)-8$.
Đáp án A.