Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+1}-8 \right)$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ và thỏa mãn $F\left( 0 \right)=1.$ Phương trình $F\left( x \right)+4=0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?
A. Một nghiệm.
B. Hai nghiệm.
C. Ba nghiệm.
D. Bốn nghiệm.
A. Một nghiệm.
B. Hai nghiệm.
C. Ba nghiệm.
D. Bốn nghiệm.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}+3}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+3\Rightarrow tdt=xdx$
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx=\int{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+1}-8 \right)}dx=\int{\left( 2t-8 \right)dt={{t}^{2}}-8t+C=\left( {{x}^{2}}+1 \right)-8\sqrt{{{x}^{2}}+1}+{C}'}}$
Mà $F\left( 0 \right)=1$ nên ${C}'=8.$ Suy ra $F\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+1 \right)-8\sqrt{{{x}^{2}}+1}2+8$
Do đó $F\left( x \right)+4=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)-8\sqrt{{{x}^{2}}+1}+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+1}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \sqrt{3} \\
& x=\pm \sqrt{35} \\
\end{aligned} \right..$
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx=\int{\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}+1}-8 \right)}dx=\int{\left( 2t-8 \right)dt={{t}^{2}}-8t+C=\left( {{x}^{2}}+1 \right)-8\sqrt{{{x}^{2}}+1}+{C}'}}$
Mà $F\left( 0 \right)=1$ nên ${C}'=8.$ Suy ra $F\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+1 \right)-8\sqrt{{{x}^{2}}+1}2+8$
Do đó $F\left( x \right)+4=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+1 \right)-8\sqrt{{{x}^{2}}+1}+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sqrt{{{x}^{2}}+1}=2 \\
& \sqrt{{{x}^{2}}+1}=6 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \sqrt{3} \\
& x=\pm \sqrt{35} \\
\end{aligned} \right..$
Đáp án D.