Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết...

Dựa vào hình vẽ, đồ thị $f\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( 0;-1 \right),\left( 2;11 \right)$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& c=-1 \\
& 4a+b=3 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có $f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)=2x\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow a{{\left( x+1 \right)}^{4}}+b{{\left( x+1 \right)}^{2}}+c-a{{x}^{4}}-b{{x}^{2}}-c=2x\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)$
$\Leftrightarrow a{{\left( x+1 \right)}^{4}}-a{{x}^{4}}+\left( 3-4a \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}-\left( 3-4a \right){{x}^{2}}=2x\left( 2x+1 \right)\left( x+1 \right)$
Đồng nhất thức, ta được $a=1\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1$
Lại có $g\left( {{x}^{2}}-1 \right)=f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow {{x}^{4}}-{{x}^{2}}-1=m.{{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+n.\left( {{x}^{2}}-1 \right)+p$
Đồng nhất thức, ta được
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m=1 \\
-2+n=-1 \\
-1=-n+p \\
\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m=1 \\
n=1 \\
p=0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow g\left( x \right)={{x}^{2}}+x={{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{4}\ge -\dfrac{1}{4}.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ là $-\dfrac{1}{4}.$