Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x...

HD: Số điểm cực trị của hàm số $y=|f\left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-f\left(0\right)|$ là $m+n$, trong đó
$m$ là số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=f\left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-f\left(0\right)$
Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+x;g^{\prime }\left(x\right)=0\iff \{\begin{array}{rl}& -2<x<3\\ & f^{\prime }\left(x\right)=-x\end{array}$ (*)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $(\ast )\iff x=\{0;2\}$ và $g^{\prime }\left(x\right)$ không đổi dấu khi qua $x=0$
Suy ra hàm số $g\left(x\right)$ có một điểm cực trị thuộc khoảng $(-2;3)$
$n$ là số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình $g\left(x\right)=0$ trên $(-2;3)$
Lại có $g^{\prime }\left(x\right)=0$ có một điểm cực trị $\Rightarrow g\left(x\right)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm
Vậy hàm số đã cho có nhiều nhất 3 điểm cực trị.