Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số $y=\left| f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-f\left( 0 \right) \right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng $\left( -2;3 \right)$ ?
A. 6
B. 2
C. 5
D. 3
A. 6
B. 2
C. 5
D. 3
HD: Số điểm cực trị của hàm số $y=\left| f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-f\left( 0 \right) \right|$ là $m+n$, trong đó
$m$ là số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-f\left( 0 \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+x;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2<x<3 \\
& {f}'\left( x \right)=-x \\
\end{aligned} \right.$ (*)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $\left( * \right)\Leftrightarrow x=\left\{ 0;2 \right\}$ và ${g}'\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua $x=0$
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ có một điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -2;3 \right)$
$n$ là số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình $g\left( x \right)=0$ trên $\left( -2;3 \right)$
Lại có ${g}'\left( x \right)=0$ có một điểm cực trị $\Rightarrow g\left( x \right)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm
Vậy hàm số đã cho có nhiều nhất 3 điểm cực trị.
$m$ là số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-f\left( 0 \right)$
Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+x;{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2<x<3 \\
& {f}'\left( x \right)=-x \\
\end{aligned} \right.$ (*)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy $\left( * \right)\Leftrightarrow x=\left\{ 0;2 \right\}$ và ${g}'\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua $x=0$
Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ có một điểm cực trị thuộc khoảng $\left( -2;3 \right)$
$n$ là số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình $g\left( x \right)=0$ trên $\left( -2;3 \right)$
Lại có ${g}'\left( x \right)=0$ có một điểm cực trị $\Rightarrow g\left( x \right)=0$ có nhiều nhất 2 nghiệm
Vậy hàm số đã cho có nhiều nhất 3 điểm cực trị.
Đáp án D.