Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ được cho như hình vẽ bên. Hàm số $y=\left| f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-f\left( 0 \right) \right|$ có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng $\left( -2;3 \right)$ ?
A. 6.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
A. 6.
B. 2.
C. 5.
D. 3.
Xét hàm số: $h\left( x \right)=f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-f\left( 0 \right).$
Ta có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+x;{h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-x$
Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=-x$ và $y={f}'\left( x \right)$
Dựa vào đồ thị suy ra phương trình: ${f}'\left( x \right)=-x$ có ba nghiệm $\left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Trên khoảng $\left( -2;3 \right)$, hàm số $h\left( x \right)$ có một điểm cực trị là $x=2,$ (do qua nghiệm $x=0,{h}'\left( x \right)$ không đổi dấu). Do đó đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ cắt trục hoành tối đa 2 điểm.
Suy ra hàm số $y=\left| h\left( x \right) \right|$ có tối đa $2+1=3$ điểm cực trị trong khoảng $\left( -2;3 \right).$
Ta có ${h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)+x;{h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=-x$
Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=-x$ và $y={f}'\left( x \right)$
Dựa vào đồ thị suy ra phương trình: ${f}'\left( x \right)=-x$ có ba nghiệm $\left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$
Trên khoảng $\left( -2;3 \right)$, hàm số $h\left( x \right)$ có một điểm cực trị là $x=2,$ (do qua nghiệm $x=0,{h}'\left( x \right)$ không đổi dấu). Do đó đồ thị hàm số $y=h\left( x \right)$ cắt trục hoành tối đa 2 điểm.
Suy ra hàm số $y=\left| h\left( x \right) \right|$ có tối đa $2+1=3$ điểm cực trị trong khoảng $\left( -2;3 \right).$
Đáp án D.