Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm...

Ta có:
, trong đó là nghiệm kép.

Xét (*)

(Điểm cực trị của hàm số là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình )
Xét hàm số có đồ thị (C).

Ta có bảng biến thiên
Để có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt khác .
Do đó, mỗi đường thẳng và phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng luôn nằm trên đường thẳng .
Ta có: . Vậy có giá trị nguyên dương.