Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm...

Ta có:
${f}'(x)=0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=0 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right. $, trong đó $ x=-1$là nghiệm kép.
$g(x)=f\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left( 4x-12 \right){f}'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)$
Xét ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left( 4x-12 \right){f}'\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)=0$ (*)
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=-1 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=0 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& 2{{x}^{2}}-12x+m=-1 (l) \\
& 2{{x}^{2}}-12x=-m \left( 1 \right) \\
& 2{{x}^{2}}-12x=4-m \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
(Điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình $2{{x}^{2}}-12x+m=-1$ )
Xét hàm số $y=2{{x}^{2}}-12x$ có đồ thị (C).
$y'=4x-12$
Ta có bảng biến thiên
Để $g\left( x \right)$ có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình $\left( 1 \right);\left( 2 \right)$ đều có hai nghiệm phân biệt khác $3$.
Do đó, mỗi đường thẳng $y=4-m$ và $y=-m$ phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng $y=4-m$ luôn nằm trên đường thẳng $y=-m$.
Ta có: $-18<-m$ $\Leftrightarrow m<18$. Vậy có $17$ giá trị $m$ nguyên dương.