Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ.
Bất phương trình $f\left( x \right)>x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0; 2 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\le f\left( 2 \right)-2$
B. $m<f\left( 2 \right)-2$
C. $m\le f\left( 0 \right)$
D. $m<f\left( 0 \right)$
A. $m\le f\left( 2 \right)-2$
B. $m<f\left( 2 \right)-2$
C. $m\le f\left( 0 \right)$
D. $m<f\left( 0 \right)$
Xét bất phương trình $f\left( x \right)>x+m\Leftrightarrow m<f\left( x \right)-x$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ với $x\in \left( 0; 2 \right)$. Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=1$. Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $y=1$ không cắt đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ tại bất kỳ điểm nào có hoành độ thuộc khoảng $\left( 0; 2 \right)$ nên phương trình ${f}'\left( x \right)=1$ vô nghiệm với $x\in \left( 0; 2 \right)$. Ta có bảng biến thiên như sau:
(do ${f}'\left( x \right)<1$ với $x\in \left( 0; 2 \right)$ ).
Từ bảng biến thiên ta thấy để $m<g\left( x \right)$ với $x\in \left( 0; 2 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 2 \right)-2$.
Chú ý.
- $m>g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
- $m>g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
- $m<g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\le \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
- $m<g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x \right)-x$ với $x\in \left( 0; 2 \right)$. Ta có ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-1$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=1$. Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $y=1$ không cắt đồ thị $y={f}'\left( x \right)$ tại bất kỳ điểm nào có hoành độ thuộc khoảng $\left( 0; 2 \right)$ nên phương trình ${f}'\left( x \right)=1$ vô nghiệm với $x\in \left( 0; 2 \right)$. Ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy để $m<g\left( x \right)$ với $x\in \left( 0; 2 \right)\Leftrightarrow m\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le f\left( 2 \right)-2$.
Chú ý.
- $m>g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
- $m>g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
- $m<g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\le \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
- $m<g\left( x \right), \forall x\in \left( a; b \right)$ trong đó $g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( a; b \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }} g\left( x \right)$
Đáp án A.