Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm xác định trên...

Cách 1:
Theo giả thiết $f^{\prime }\left(x\right)+4\text{x}-6\text{x}.e^{x^2-f\left(x\right)-2019}=0\iff 6\text{x}(1-e^{x^2-f\left(x\right)-2019})=2\text{x}-f^{\prime }\left(x\right),\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ (1).
TH1: Nếu $1-e^{x^2-f\left(x\right)-2019}=0$ thì $x^2-f\left(x\right)-2019=0\iff f\left(x\right)=x^2-2019$ ta có (1) đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left(x\right)<7\iff x^2-2019<7\iff x^2<2026\iff -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$.
Vì x nguyên dương nên $x\in \{1;2;3;...;45\}$.
Trong trường hợp này có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH2: Nếu $1-e^{x^2-f\left(x\right)-2019}\ne 0$ thì ta có thể giả sử rằng tồn tại hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Khi đó, tại $x=0$ ta có $f\left(0\right)=-2019$ nên $1-e^{x^2-f\left(x\right)-2019}=0$ (mâu thuẫn).
Vậy có tất cả 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cách 2:
Theo giả thiết $f^{\prime }\left(x\right)+4\text{x}-6\text{x}.e^{x^2-f\left(x\right)-2019}=0\iff [f^{\prime }\left(x\right)+4\text{x}]e^{f\left(x\right)+2{\text{x}}^2}=6\text{x}.e^{3{\text{x}}^2-2019},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $\int [f^{\prime }\left(x\right)+4\text{x}].e^{f\left(x\right)+2{\text{x}}^2}d\text{x}=\int 6\text{x}.e^{3{\text{x}}^2-2019}d\text{x}\iff e^{f\left(x\right)+2{\text{x}}^2}=e^{3{\text{x}}^2-2019}+C$.
Mà $f\left(0\right)=-2019$ nên $\iff e^{f\left(0\right)}=e^{-2019}+C\iff C=0$.
Do đó $e^{f\left(x\right)+2{\text{x}}^2}=e^{3{\text{x}}^2-2019}$ hay $f\left(x\right)=x^2-2019$.
Khi đó $f\left(x\right)<7\iff x^2-2019<7\iff x^2<2026\iff -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$.
Vì x nguyên dương nên $x\in \{1;2;3;...;45\}$.
Vậy có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.