Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)+4\text{x}-6\text{x}.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0$ và $f\left( 0 \right)=-2019$. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình $f\left( x \right)<7$ là
A. 91
B. 46
C. 45
D. 44
A. 91
B. 46
C. 45
D. 44
Cách 1:
Theo giả thiết ${f}'\left( x \right)+4\text{x}-6\text{x}.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0\Leftrightarrow 6\text{x}\left( 1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}} \right)=2\text{x}-{f}'\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$ (1).
TH1: Nếu $1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0$ thì ${{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019=0\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-2019$ ta có (1) đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left( x \right)<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2019<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<2026\Leftrightarrow -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$.
Vì x nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;...;45 \right\}$.
Trong trường hợp này có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH2: Nếu $1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}\ne 0$ thì ta có thể giả sử rằng tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Khi đó, tại $x=0$ ta có $f\left( 0 \right)=-2019$ nên $1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0$ (mâu thuẫn).
Vậy có tất cả 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cách 2:
Theo giả thiết ${f}'\left( x \right)+4\text{x}-6\text{x}.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0\Leftrightarrow \left[ {f}'\left( x \right)+4\text{x} \right]{{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}=6\text{x}.{{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}},\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $\int{\left[ {f}'\left( x \right)+4\text{x} \right].{{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}d\text{x}}=\int{6\text{x}.{{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}}d\text{x}}\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}={{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}}+C$.
Mà $f\left( 0 \right)=-2019$ nên $\Leftrightarrow {{e}^{f\left( 0 \right)}}={{e}^{-2019}}+C\Leftrightarrow C=0$.
Do đó ${{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}={{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}}$ hay $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2019$.
Khi đó $f\left( x \right)<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2019<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<2026\Leftrightarrow -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$.
Vì x nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;...;45 \right\}$.
Vậy có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Theo giả thiết ${f}'\left( x \right)+4\text{x}-6\text{x}.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0\Leftrightarrow 6\text{x}\left( 1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}} \right)=2\text{x}-{f}'\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$ (1).
TH1: Nếu $1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0$ thì ${{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019=0\Leftrightarrow f\left( x \right)={{x}^{2}}-2019$ ta có (1) đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Do đó $f\left( x \right)<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2019<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<2026\Leftrightarrow -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$.
Vì x nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;...;45 \right\}$.
Trong trường hợp này có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH2: Nếu $1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}\ne 0$ thì ta có thể giả sử rằng tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Khi đó, tại $x=0$ ta có $f\left( 0 \right)=-2019$ nên $1-{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0$ (mâu thuẫn).
Vậy có tất cả 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cách 2:
Theo giả thiết ${f}'\left( x \right)+4\text{x}-6\text{x}.{{e}^{{{x}^{2}}-f\left( x \right)-2019}}=0\Leftrightarrow \left[ {f}'\left( x \right)+4\text{x} \right]{{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}=6\text{x}.{{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}},\forall x\in \mathbb{R}$.
Suy ra $\int{\left[ {f}'\left( x \right)+4\text{x} \right].{{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}d\text{x}}=\int{6\text{x}.{{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}}d\text{x}}\Leftrightarrow {{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}={{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}}+C$.
Mà $f\left( 0 \right)=-2019$ nên $\Leftrightarrow {{e}^{f\left( 0 \right)}}={{e}^{-2019}}+C\Leftrightarrow C=0$.
Do đó ${{e}^{f\left( x \right)+2{{\text{x}}^{2}}}}={{e}^{3{{\text{x}}^{2}}-2019}}$ hay $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2019$.
Khi đó $f\left( x \right)<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2019<7\Leftrightarrow {{x}^{2}}<2026\Leftrightarrow -\sqrt{2026}<x<\sqrt{2026}$.
Vì x nguyên dương nên $x\in \left\{ 1;2;3;...;45 \right\}$.
Vậy có 45 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án C.