Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và ${{\text{e}}^{2x+1}}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{\text{e}}^{x}}.{f}'\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=1$. Khi đó $f\left( 1 \right)$ bằng
A. $2\text{e}-1$.
B. $2{{\text{e}}^{2}}-2\text{e}+1$.
C. ${{\text{e}}^{2}}-\text{e}+1$.
D. $\dfrac{{{\text{e}}^{3}}-\text{e}+2}{2}$.
A. $2\text{e}-1$.
B. $2{{\text{e}}^{2}}-2\text{e}+1$.
C. ${{\text{e}}^{2}}-\text{e}+1$.
D. $\dfrac{{{\text{e}}^{3}}-\text{e}+2}{2}$.
${{\text{e}}^{2x+1}}$ là một nguyên hàm của hàm số ${{\text{e}}^{x}}.{f}'\left( x \right)$ nên
${{\text{e}}^{x}}.{f}'\left( x \right)={{\left( {{\text{e}}^{2x+1}} \right)}^{\prime }}$ $=2{{\text{e}}^{2x+1}}$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{\text{e}}^{2x+1}}}{{{\text{e}}^{x}}}=2{{\text{e}}^{x+1}}$.
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{1}=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)$.
$\Rightarrow f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}$ $=1+\int\limits_{0}^{1}{2{{\text{e}}^{x+1}}\text{d}x}=1+\left. 2{{\text{e}}^{x+1}} \right|_{0}^{1}$ $=2{{\text{e}}^{2}}-2\text{e}+1$.
${{\text{e}}^{x}}.{f}'\left( x \right)={{\left( {{\text{e}}^{2x+1}} \right)}^{\prime }}$ $=2{{\text{e}}^{2x+1}}$ $\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{\text{e}}^{2x+1}}}{{{\text{e}}^{x}}}=2{{\text{e}}^{x+1}}$.
Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}=\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{1}=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)$.
$\Rightarrow f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)+\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}$ $=1+\int\limits_{0}^{1}{2{{\text{e}}^{x+1}}\text{d}x}=1+\left. 2{{\text{e}}^{x+1}} \right|_{0}^{1}$ $=2{{\text{e}}^{2}}-2\text{e}+1$.
Đáp án B.