Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và...

+ Xét $J=\int\limits_{0}^{3}{x.{f}'\left( 2x-4 \right)}dx=8.$
Đặt $u=x$ và $dv={f}'\left( 2x-4 \right)dx=d\left( \dfrac{1}{2}f\left( 2x-4 \right) \right)$, ta được $du=dx$ và $v=\dfrac{1}{2}f\left( 2x-4 \right).$
$\Rightarrow J=\dfrac{1}{2}x.f\left( 2x-4 \right)\left| \begin{matrix}
3 \\
0 \\
\end{matrix} \right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( 2x-4 \right)}dx=\dfrac{3}{2}f\left( 2 \right)-\dfrac{1}{2}f\left( 2x-4 \right)dx=3-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( 2x-4 \right)dx}$
Vì $J=8$ $\Rightarrow $ $3-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( 2x-4 \right)dx}=8$ $\Rightarrow $ $\int\limits_{0}^{3}{f\left( 2x-4 \right)}dx=-10.$
Đặt $2t=2x-4$ $\Rightarrow $ $2dt=2dx$ $\Leftrightarrow $ $dt=dx$
Đổi cận:
${{I}_{1}}=\int\limits_{-2}^{1}{f\left( 2t \right)}dt=\int\limits_{-2}^{1}{f\left( 2x \right)}dx=-10$. Vậy $I=-10$.