Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $f\left( x \right)=x\left[ \sin x+{f}'\left( x \right) \right]+\cos x$ và $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\pi }{2}$. Giá trị của $f\left( \pi \right)$ bằng
A. $1+\dfrac{\pi }{2}$.
B. $-1+\dfrac{\pi }{2}$.
C. $1+\pi $.
D. $-1+\pi $.
A. $1+\dfrac{\pi }{2}$.
B. $-1+\dfrac{\pi }{2}$.
C. $1+\pi $.
D. $-1+\pi $.
Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ nên
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)=x\left[ \sin x+{f}'\left( x \right) \right]+\cos x\Leftrightarrow x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)=-x\sin x-\cos x \\
& \Leftrightarrow \dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{\cos x}{x} \right)}^{\prime }} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}=\dfrac{\cos x}{x}+C. \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\pi }{2}$ nên $C=1$. Suy ra $f\left( x \right)=\cos x+x$.
Vậy $f\left( \pi \right)=\pi -1$.
$\begin{aligned}
& f\left( x \right)=x\left[ \sin x+{f}'\left( x \right) \right]+\cos x\Leftrightarrow x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)=-x\sin x-\cos x \\
& \Leftrightarrow \dfrac{x{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=\dfrac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{\prime }}={{\left( \dfrac{\cos x}{x} \right)}^{\prime }} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{x}=\dfrac{\cos x}{x}+C. \\
\end{aligned}$
Vì $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{\pi }{2}$ nên $C=1$. Suy ra $f\left( x \right)=\cos x+x$.
Vậy $f\left( \pi \right)=\pi -1$.
Đáp án D.