Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm trên khoảng $\left( 0,+\infty \right)$ và $f\left( x \right)>0,$ $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=-x.{{f}^{2}}\left( x \right)$ với mọi $x\in \left( 0;+\infty \right),$ biết $f\left( 1 \right)=\dfrac{2}{a+3}$ và $f\left( 2 \right)>\dfrac{1}{4}.$. Tổng tất cả các giá trị nguyên của a thỏa mãn là
A. -14.
B. 1.
C. 0.
D. -2.
A. -14.
B. 1.
C. 0.
D. -2.
Trên $\left( 0;+\infty \right)$ ta có ${f}'\left( x \right)=-x.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow -\dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}=x\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}=x.$
$\Rightarrow \int{{{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}dx}=\int{xdx}\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C.$
Có $f\left( 1 \right)=\dfrac{2}{a+3}\Rightarrow \dfrac{a+3}{2}=\dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow C=\dfrac{a+2}{2}.\dfrac{1}{f\left( 2 \right)}=2+\dfrac{a+2}{2}\Rightarrow f\left( 2 \right)=\dfrac{2}{a+6};$
$f\left( 2 \right)>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2}{a+6}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2-a}{4\left( a+6 \right)}>0\Leftrightarrow -6<a<2.$
Ta có $\dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{a+2}{2}.$ Do đó $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow a\ge -2.$
Với $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}.$ Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là -2.
$\Rightarrow \int{{{\left( \dfrac{1}{f\left( x \right)} \right)}^{\prime }}dx}=\int{xdx}\Leftrightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C.$
Có $f\left( 1 \right)=\dfrac{2}{a+3}\Rightarrow \dfrac{a+3}{2}=\dfrac{1}{2}+C\Leftrightarrow C=\dfrac{a+2}{2}.\dfrac{1}{f\left( 2 \right)}=2+\dfrac{a+2}{2}\Rightarrow f\left( 2 \right)=\dfrac{2}{a+6};$
$f\left( 2 \right)>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2}{a+6}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{2-a}{4\left( a+6 \right)}>0\Leftrightarrow -6<a<2.$
Ta có $\dfrac{1}{f\left( x \right)}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{a+2}{2}.$ Do đó $f\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow a\ge -2.$
Với $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}.$ Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của a cần tìm là -2.
Đáp án D.