Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $\dfrac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{e}^{2x}}}=1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}$, với mọi $x\in \left[ 0;1 \right]$. Biết $f\left( 0 \right)=1$. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. $f\left( 1 \right)\in \left( \dfrac{5}{2};3 \right)$
B. $f\left( 1 \right)\in \left( 3;\dfrac{7}{2} \right)$
C. $f\left( 1 \right)\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$
D. $f\left( 1 \right)\in \left( \dfrac{3}{2};2 \right)$
A. $f\left( 1 \right)\in \left( \dfrac{5}{2};3 \right)$
B. $f\left( 1 \right)\in \left( 3;\dfrac{7}{2} \right)$
C. $f\left( 1 \right)\in \left( 2;\dfrac{5}{2} \right)$
D. $f\left( 1 \right)\in \left( \dfrac{3}{2};2 \right)$
Theo giả thiết ${f}'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$ nên suy ra: $f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right)=1,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$
Từ đó ta có $\dfrac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{e}^{2x}}}=1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}={{e}^{2x}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| f\left( x \right) \right|.{f}'\left( x \right)}{\sqrt{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}}={{e}^{x}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)}{\sqrt{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow \sqrt{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}={{e}^{x}}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=\sqrt{2}-1$. Từ đó ta có $\sqrt{1+{{\left[ f\left( 1 \right) \right]}^{2}}}=e+\sqrt{2}-1\Rightarrow f\left( 1 \right)\approx 2,968$
Kết luận $f\left( 1 \right)\in \left( \dfrac{5}{2};3 \right)$
Từ đó ta có $\dfrac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}{{{e}^{2x}}}=1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}.{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}={{e}^{2x}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| f\left( x \right) \right|.{f}'\left( x \right)}{\sqrt{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}}={{e}^{x}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)}{\sqrt{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}}={{e}^{x}}\Leftrightarrow \sqrt{1+{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}={{e}^{x}}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=\sqrt{2}-1$. Từ đó ta có $\sqrt{1+{{\left[ f\left( 1 \right) \right]}^{2}}}=e+\sqrt{2}-1\Rightarrow f\left( 1 \right)\approx 2,968$
Kết luận $f\left( 1 \right)\in \left( \dfrac{5}{2};3 \right)$
Đáp án A.