Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên...

Với mỗi tham số thì số điểm cực trị của hàm số
và bằng nhau.
Do đó ta chỉ cần tìm giá trị nguyên của tham số để hàm số
có đúng điểm cực trị.
Xét : Hàm số có dạng .
Khi đó ta có đạo hàm như sau: .
Do nghiệm của phương trình là các nghiệm bội bậc chẵn của phương trình nên ta chỉ cần quan tâm đến các nghiệm còn lại. Tức là
$\left[ \begin{aligned}
& 3{{x}^{2}}-3=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{3}}-3x+m+2021 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \left( \text{do} x>0 \right) \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=-1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=1 \\
& {{x}^{3}}-3x+m+2021=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow $
Vẽ đồ thị ba hàm số ; ; với trên cùng một hệ trục
Hàm số có đúng điểm cực trị
Hàm số có đúng điểm cực trị dương
Phương trình có đúng nghiệm bội lẻ dương và khác
Đường thẳng cắt đồ thị ba hàm số ; ; tại điểm phân biệt có hoành độ dương khác
$\left[ \begin{aligned}
& -1<m+2021<1 \\
& 2<m+2021<3 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -2022<m<-2020 \\
& -2019<m<-2018 \\
\end{aligned} \right.mm=-20211m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.