Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, $f\left( 1 \right)=10\sqrt{2}, f\left( 3 \right)=9$ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc $\left[ -10;10 \right]$ của để bất phương trình $\left( x+1 \right).\left[ f\left( x \right)+1 \right]\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}>mx\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}+x+1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$.
A. $20$.
B. $21$.
C. $12$.
D. $13$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc $\left[ -10;10 \right]$ của để bất phương trình $\left( x+1 \right).\left[ f\left( x \right)+1 \right]\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}>mx\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}+x+1 \right)$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$.A. $20$.
B. $21$.
C. $12$.
D. $13$.
Đặt $a=\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)} ; b=mx$.
Ta có $\left( x+1 \right).\left[ f\left( x \right)+1 \right]\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}>mx\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}+x+1 \right)$
Trở thành ${{a}^{3}}+\left( x+1 \right)a>{{b}^{3}}+\left( x+1 \right)b\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+x+1 \right)>0\Leftrightarrow a-b>0$
Vì ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+x+1>0, \forall x\in \left( 1 ;3 \right)$
Khi đó ta có $\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)} >mx\Leftrightarrow m<\dfrac{\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}}{x},\forall x\in \left( 1 ;3 \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}$ ta có $g\left( x \right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ và $f\left( x \right)$ là hai hàm số dương cùng nghịch biến trên $\left( 1;3 \right)$ nên hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}$ nghịch biến với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$.
Từ bảng ta có: $m<\dfrac{\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}}{x},\forall x\in \left( 1 ;3 \right)\Leftrightarrow m\le 2$.
Mà $m$ nguyên thuộc $\left[ -10; 10 \right]$ nên $m\in \left\{ -10,-9, ..., 2 \right\}$. Vậy có 13 giá trị nguyên của $m$.
Ta có $\left( x+1 \right).\left[ f\left( x \right)+1 \right]\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}>mx\left( {{m}^{2}}{{x}^{2}}+x+1 \right)$
Trở thành ${{a}^{3}}+\left( x+1 \right)a>{{b}^{3}}+\left( x+1 \right)b\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+x+1 \right)>0\Leftrightarrow a-b>0$
Vì ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+x+1>0, \forall x\in \left( 1 ;3 \right)$
Khi đó ta có $\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)} >mx\Leftrightarrow m<\dfrac{\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}}{x},\forall x\in \left( 1 ;3 \right)$
Xét hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}$ ta có $g\left( x \right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}$ và $f\left( x \right)$ là hai hàm số dương cùng nghịch biến trên $\left( 1;3 \right)$ nên hàm số $h\left( x \right)=\dfrac{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}$ nghịch biến với mọi $x\in \left( 1;3 \right)$.
Mà $m$ nguyên thuộc $\left[ -10; 10 \right]$ nên $m\in \left\{ -10,-9, ..., 2 \right\}$. Vậy có 13 giá trị nguyên của $m$.
Đáp án D.