Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[ 0;\pi \right]$. Biết $f\left( 0 \right)=2\text{e}$ và $f\left( x \right)$ luôn thỏa mãn ${f}'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=\cos x.{{e}^{\cos x}},\forall x\in \left[ 0;\pi \right].$ Giá trị của $A=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx}$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 6;9 \right).$
B. $\left( 9;11 \right).$
C. $\left( 11;17 \right).$
D. $\left( 17;19 \right).$
A. $\left( 6;9 \right).$
B. $\left( 9;11 \right).$
C. $\left( 11;17 \right).$
D. $\left( 17;19 \right).$
Ta có ${f}'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=\cos x.{{e}^{\cos x}}.$ Chia hai vế đẳng thức cho ${{e}^{\cos x}}$ ta được
${f}'\left( x \right).{{e}^{-\cos x}}+{{e}^{-\cos x}}.\sin x.f\left( x \right)=\cos x$ (vế trái có dạng ${u}'v+u{v}'$ )
$\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}} \right)}^{\prime }}=\cos x\Leftrightarrow \int{{{\left( f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}} \right)}^{\prime }}dx=\int{\cos x.dx}}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}}=\sin x+C.$
Do $f\left( 0 \right)=2e$ nên $2e.{{e}^{-1}}=C\Rightarrow C=2.$ Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{\sin x+2}{{{e}^{-\cos x}}}={{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right).$
Vậy $A=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{\pi }{{{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right)dx\approx 10,31.}}$
${f}'\left( x \right).{{e}^{-\cos x}}+{{e}^{-\cos x}}.\sin x.f\left( x \right)=\cos x$ (vế trái có dạng ${u}'v+u{v}'$ )
$\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}} \right)}^{\prime }}=\cos x\Leftrightarrow \int{{{\left( f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}} \right)}^{\prime }}dx=\int{\cos x.dx}}$
$\Leftrightarrow f\left( x \right).{{e}^{-\cos x}}=\sin x+C.$
Do $f\left( 0 \right)=2e$ nên $2e.{{e}^{-1}}=C\Rightarrow C=2.$ Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{\sin x+2}{{{e}^{-\cos x}}}={{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right).$
Vậy $A=\int\limits_{0}^{\pi }{f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{\pi }{{{e}^{\cos x}}\left( \sin x+2 \right)dx\approx 10,31.}}$
Đáp án B.