Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm, liên tục trên đoạn $\left[ 0,\pi \right],f\left( 0 \right)=2e$ và thỏa mãn $f'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=\text{cos} x.{{e}^{\text{cos} \text{.x}}}.$ Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$ trên đoạn $\left[ 0;\pi \right]$ là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
Ta có $f'\left( x \right)+\sin x.f\left( x \right)=\text{cos} x.{{e}^{\text{cos} x}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}}+\sin x.{{e}^{-c\text{os} x}}.f\left( x \right)=\text{cos} x$
$\Rightarrow f'\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}}+\left( {{e}^{-c\text{os} x}} \right)'.f\left( x \right)=\text{cos} x$
$\Rightarrow \left[ f\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}} \right]'=\text{cos} x\Rightarrow \int{\left[ f\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}} \right]'dx}=\int{\text{cos} xdx}\Rightarrow f\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}}=\sin x+C.$
Mà $f\left( 0 \right)=2e$ nên $f\left( x \right)={{e}^{-c\text{os} x}}\left( \sin x+2 \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{\text{cos} \text{x}}}>0,\forall x \\
& \sin x+2>0,\forall x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{e}^{\text{cos} \text{x}}}\left( \sin x+2 \right)>0,\forall x\Rightarrow {{e}^{\text{cos} \text{x}}}\left( \sin x+2 \right)>0,\forall x\in \left[ 0;\pi \right].$
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
$\Rightarrow f'\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}}+\sin x.{{e}^{-c\text{os} x}}.f\left( x \right)=\text{cos} x$
$\Rightarrow f'\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}}+\left( {{e}^{-c\text{os} x}} \right)'.f\left( x \right)=\text{cos} x$
$\Rightarrow \left[ f\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}} \right]'=\text{cos} x\Rightarrow \int{\left[ f\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}} \right]'dx}=\int{\text{cos} xdx}\Rightarrow f\left( x \right).{{e}^{-c\text{os} x}}=\sin x+C.$
Mà $f\left( 0 \right)=2e$ nên $f\left( x \right)={{e}^{-c\text{os} x}}\left( \sin x+2 \right).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{e}^{\text{cos} \text{x}}}>0,\forall x \\
& \sin x+2>0,\forall x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{e}^{\text{cos} \text{x}}}\left( \sin x+2 \right)>0,\forall x\Rightarrow {{e}^{\text{cos} \text{x}}}\left( \sin x+2 \right)>0,\forall x\in \left[ 0;\pi \right].$
Vậy phương trình $f\left( x \right)=0$ vô nghiệm.
Đáp án D.