Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai, liên tục và nhận giá trị dương trên đoạn $\left[ 0; 1 \right]$, thỏa mãn ${f}'\left( x \right)-2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+2x{f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=0 \forall x\in \left[ 0;1 \right], {f}'\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1$.
Biết $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\dfrac{a}{b} (a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng:
A. $181$.
B. $25$.
C. $10$.
D. $26$.
Biến đổi phương trình:
$\begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)-2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+2x{f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=0 \\
& \Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+2x{f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \\
& \Leftrightarrow \left( 2x+2 \right){f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\left[ 2f\left( x \right)+1 \right]{f}'\left( x \right) \\
\end{aligned}$
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
${{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}'\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+{{C}_{1}} \left( I \right)$
Theo giả thuyết, $ {f}'\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1\Rightarrow \dfrac{9}{4}=2+{{C}_{1}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}=\dfrac{1}{4}$
Phương trình $\left( I \right)$ trở thành ${{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}'\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}$
Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau:
$\dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \left( f\left( x \right)>0 \right)$
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
$\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)dx}{{{\left( f\left( x \right)+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}}=\int{\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}\Rightarrow \dfrac{-1}{f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{-1}{\left( x+1 \right)}+{{C}_{2}}$
Theo giả thuyết, ${f}'\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=0\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)}$
$\Rightarrow f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ x+\dfrac{1}{2} \right]}^{2}}dx}={{\left. \dfrac{1}{3}{{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{3}} \right|}^{1}}_{0}=\dfrac{13}{12}$
Vậy ta có được $a=13; b=12.$ Kết luận $a+b=25$
Biết $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\dfrac{a}{b} (a,b$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của $a+b$ bằng:
A. $181$.
B. $25$.
C. $10$.
D. $26$.
Biến đổi phương trình:
$\begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)-2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+2x{f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=0 \\
& \Leftrightarrow {f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right)+2x{f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \\
& \Leftrightarrow \left( 2x+2 \right){f}'\left( x \right)+{{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}''\left( x \right)=2f\left( x \right){f}'\left( x \right)+{f}'\left( x \right) \\
& \Leftrightarrow {{\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\left[ 2f\left( x \right)+1 \right]{f}'\left( x \right) \\
\end{aligned}$
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
${{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}'\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+{{C}_{1}} \left( I \right)$
Theo giả thuyết, $ {f}'\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1\Rightarrow \dfrac{9}{4}=2+{{C}_{1}}\Leftrightarrow {{C}_{1}}=\dfrac{1}{4}$
Phương trình $\left( I \right)$ trở thành ${{\left( x+1 \right)}^{2}}.{f}'\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}$
Tiếp tục biến đổi phương trình trên, ta được như sau:
$\dfrac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)+f\left( x \right)+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \left( f\left( x \right)>0 \right)$
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình trên, ta được:
$\int{\dfrac{{f}'\left( x \right)dx}{{{\left( f\left( x \right)+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}}=\int{\dfrac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}\Rightarrow \dfrac{-1}{f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{-1}{\left( x+1 \right)}+{{C}_{2}}$
Theo giả thuyết, ${f}'\left( \dfrac{1}{2} \right)=f\left( \dfrac{1}{2} \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=0\Rightarrow \dfrac{1}{f\left( x \right)+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\left( x+1 \right)}$
$\Rightarrow f\left( x \right)=x+\dfrac{1}{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ x+\dfrac{1}{2} \right]}^{2}}dx}={{\left. \dfrac{1}{3}{{\left( x+\dfrac{1}{2} \right)}^{3}} \right|}^{1}}_{0}=\dfrac{13}{12}$
Vậy ta có được $a=13; b=12.$ Kết luận $a+b=25$
Đáp án B.