Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình sau...

${g}'\left( x \right)=6{{f}^{2}}\left( x \right){f}'\left( x \right)-12f\left( x \right){f}'\left( x \right)=6f\left( x \right){f}'\left( x \right)\left( f\left( x \right)-2 \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& {f}'\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ ta thấy:
+) $f\left( x \right)=0$ có ba nghiệm phân biệt.
+) $f\left( x \right)=2$ có ba nghiệm phân biệt khác với ba nghiệm trên.
+) ${f}'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=0$ và $x=3$ khác với các nghiệm trên.
Vậy phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có tất cả 8 nghiệm phân biệt.
Từ bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ ta cũng thấy khi $x\to +\infty $ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)\to -\infty \\
& {f}'\left( x \right)<0 \\
& f\left( x \right)-2\to -\infty \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow g'\left( x \right)<0$
Vậy ta có bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$ như sau:

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ có 4 điểm cực đại.