Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình bên Số...

Từ bảng biến thiên
Ta có $f\left( 2\sin x+1 \right)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2\sin x+1=-1 \\
& 2\sin x+1=a\in \left( 1;3 \right) \\
& 2\sin x+1=b>3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=-1\text{ }\left( 1 \right) \\
& \sin x=\dfrac{a-1}{2}\in \left( 0;1 \right)\text{ }\left( 2 \right) \\
& \sin x=\dfrac{b-1}{2}>1\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Cách 1: Vẽ đường tròn lượng giác

Cách 2: Vẽ đồ thị hàm số $y=\sin x,x\in \left[ 0;\dfrac{9\pi }{2} \right]$
Trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{9\pi }{2} \right]$ ta thấy:
Phương trình (1) có 2 nghiệm $x=\dfrac{3\pi }{2};x=\dfrac{7\pi }{2}$.
Phương trình (2) có 5 nghiệm phân biệt.
Phương trình (3) vô nghiệm.
Vậy phương trình $f\left( 2\sin x+1 \right)=1$ có tất cả 7 nghiệm trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{9\pi }{2} \right]$.