Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ bậc bốn có đồ thị như hình vẽ sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{f}^{3}}\left( x \right)+\dfrac{1}{2}m.{{f}^{2}}\left( x \right)+3f\left( x \right)-1$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;1 \right)?$
A. $16$.
B. $15$.
C. $14$.
D. $13$.
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến khi
${g}'\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right).{f}'\left( x \right)+mf\left( x \right){f}'\left( x \right)+3{f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3 \right]\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3\ge 0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$
Đặt $t=f\left( x \right)\in \left[ 1;3 \right],\forall x\in \left[ 0;1 \right].$ Cần tìm điều kiện để ${{t}^{2}}+mt+3\ge 0,\forall t\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow m\ge g\left( t \right)=-t-\dfrac{3}{t},\forall t\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( \sqrt{3} \right)=-2\sqrt{3}$
Vậy $m\in \left\{ -3,...,10 \right\}\Rightarrow $ có $14$ giá trị nguyên thỏa mãn.
A. $16$.
B. $15$.
C. $14$.
D. $13$.
Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến khi
${g}'\left( x \right)={{f}^{2}}\left( x \right).{f}'\left( x \right)+mf\left( x \right){f}'\left( x \right)+3{f}'\left( x \right)\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3 \right]\le 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3\ge 0,\forall x\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+mf\left( x \right)+3\ge 0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$
Đặt $t=f\left( x \right)\in \left[ 1;3 \right],\forall x\in \left[ 0;1 \right].$ Cần tìm điều kiện để ${{t}^{2}}+mt+3\ge 0,\forall t\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow m\ge g\left( t \right)=-t-\dfrac{3}{t},\forall t\in \left[ 1;3 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ 1;3 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=g\left( \sqrt{3} \right)=-2\sqrt{3}$
Vậy $m\in \left\{ -3,...,10 \right\}\Rightarrow $ có $14$ giá trị nguyên thỏa mãn.
Đáp án C.