Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu số nguyên $m\in \left[ -10;10 \right]$ để bất phương trình $f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}-f\left( m \right)\le 0$ có nghiệm.
A. 9.
B. 10.
C. 12.
D. 11.
B. 10.
C. 12.
D. 11.
Ta có điều kiện của bất phương trình là $-1\le x\le 1.$
Khi đó bất phương trình tương đương với:
$f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}-f\left( m \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( m \right)\ge g\left( x \right)=f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3} (*).$
Ta có $h\left( x \right)=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=1; \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=3.$
Dấu bằng xảy ra khi $x=-1.$
Do đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)+\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=1+3=4=g\left( -1 \right).$
Vậy (*) có nghiệm trên đoạn $\left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow f\left( m \right)\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( m \right)\ge 4.$
Quan sát đồ thị hàm số suy ra $m\in \left\{ -3,1,2,...,10 \right\}.$
Có tất cả 11 số nguyên thỏa mãn.
Khi đó bất phương trình tương đương với:
$f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}-f\left( m \right)\le 0\Leftrightarrow f\left( m \right)\ge g\left( x \right)=f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)+\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3} (*).$
Ta có $h\left( x \right)=\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}\Rightarrow \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=1; \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( t \right)=3.$
Dấu bằng xảy ra khi $x=-1.$
Do đó $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)+\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} f\left( \sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)=1+3=4=g\left( -1 \right).$
Vậy (*) có nghiệm trên đoạn $\left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow f\left( m \right)\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( m \right)\ge 4.$
Quan sát đồ thị hàm số suy ra $m\in \left\{ -3,1,2,...,10 \right\}.$
Có tất cả 11 số nguyên thỏa mãn.
Đáp án D.