Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, có đồ thị $\left( C \right)$ và $M$ là một điểm bất kì thuộc $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm thứ hai $N$ ; tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $N$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm thứ hai $P$. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ lần lượt là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $MN$ và $\left( C \right)$ ; đường thẳng $NP$ và $\left( C \right)$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{16}{{S}_{1}}$.
B. ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{8}{{S}_{2}}$.
C. ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{16}{{S}_{2}}$.
D. ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{8}{{S}_{1}}$.
A. ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{16}{{S}_{1}}$.
B. ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{8}{{S}_{2}}$.
C. ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{16}{{S}_{2}}$.
D. ${{S}_{2}}=\dfrac{1}{8}{{S}_{1}}$.
Giả sử $a>0$ và gọi $m,n,p$ lần lượt là hoành độ các điểm $M,N,P$ với $m<n$. Tiếp tuyến tại $M$ là $y=ex+f$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $M,N$ có hoành độ $m,n$ trong đó tại điểm $M$ là điểm tiếp xúc.
Vì vậy phương trình $\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \right)-\left( ex+f \right)=a{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x-n \right)$ có các nghiệm là ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=m;{{x}_{3}}=n$. Theo định lý Vi-ét ta có $2m+n=-\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow n=-\dfrac{b}{a}-2m$.
Với giả sử $m<n\Rightarrow m<-\dfrac{b}{3a}$.
Một cách tương tự cho tiếp tuyến $NP$ có:
$2n+p=-\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow p=-\dfrac{b}{a}-2n=-\dfrac{b}{a}-2\left( -\dfrac{b}{a}-2m \right)=\dfrac{b}{a}+4m<n$
Sử dụng tích phân $\int\limits_{a}^{b}{{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)dx}=-\dfrac{1}{12}{{\left( a-b \right)}^{4}}$. Diện tích các mặt phẳng:
${{S}_{1}}={{S}_{\left( MN,\left( C \right) \right)}}=\int\limits_{m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{\left| a{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right) \right|dx}$
$=-\int\limits_{m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{a{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right)dx}=\dfrac{a}{12}{{\left( -\dfrac{b}{a}-3m \right)}^{4}}$
${{S}_{2}}={{S}_{\left( NP,\left( C \right) \right)}}=\int\limits_{\dfrac{b}{a}+4m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{\left| a{{\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{b}{a}-4m \right) \right|dx}$
$=\int\limits_{m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{a{{\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{b}{a}-4m \right)dx}=\dfrac{a}{12}{{\left( -\dfrac{2b}{a}-6m \right)}^{4}}$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{16}{{S}_{2}}$.
Vì vậy phương trình $\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \right)-\left( ex+f \right)=a{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x-n \right)$ có các nghiệm là ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=m;{{x}_{3}}=n$. Theo định lý Vi-ét ta có $2m+n=-\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow n=-\dfrac{b}{a}-2m$.
Với giả sử $m<n\Rightarrow m<-\dfrac{b}{3a}$.
Một cách tương tự cho tiếp tuyến $NP$ có:
$2n+p=-\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow p=-\dfrac{b}{a}-2n=-\dfrac{b}{a}-2\left( -\dfrac{b}{a}-2m \right)=\dfrac{b}{a}+4m<n$
Sử dụng tích phân $\int\limits_{a}^{b}{{{\left( x-a \right)}^{2}}\left( x-b \right)dx}=-\dfrac{1}{12}{{\left( a-b \right)}^{4}}$. Diện tích các mặt phẳng:
${{S}_{1}}={{S}_{\left( MN,\left( C \right) \right)}}=\int\limits_{m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{\left| a{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right) \right|dx}$
$=-\int\limits_{m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{a{{\left( x-m \right)}^{2}}\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right)dx}=\dfrac{a}{12}{{\left( -\dfrac{b}{a}-3m \right)}^{4}}$
${{S}_{2}}={{S}_{\left( NP,\left( C \right) \right)}}=\int\limits_{\dfrac{b}{a}+4m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{\left| a{{\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{b}{a}-4m \right) \right|dx}$
$=\int\limits_{m}^{-\dfrac{b}{a}-2m}{a{{\left( x+\dfrac{b}{a}+2m \right)}^{2}}\left( x-\dfrac{b}{a}-4m \right)dx}=\dfrac{a}{12}{{\left( -\dfrac{2b}{a}-6m \right)}^{4}}$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=\dfrac{1}{16}{{S}_{2}}$.
Đáp án C.