Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-5x$ và $g\left( x \right)=m{{x}^{4}}+n{{x}^{3}}-9x$ với $a,b,m,n\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là -2;1;2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
A. 0.
B. $\dfrac{8}{3}.$
C. $\dfrac{16}{3}.$
D. 2.
A. 0.
B. $\dfrac{8}{3}.$
C. $\dfrac{16}{3}.$
D. 2.
Ta có ${f}'\left( x \right)-3a{{x}^{2}}+2bx-5$ và ${g}'\left( x \right)=4m{{x}^{3}}+3n{{x}^{2}}-9.$
Khi đó ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx-5-4m{{x}^{3}}-3n{{x}^{2}}+9=-4m{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\left( a-n \right)+2bx+4.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là -2;1;4
Nên ta suy ra $a\ne 0$ và ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=-4mx\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right).$
Ta có ${f}'\left( 0 \right)-{g}'\left( 0 \right)=-16m=4\Rightarrow m=\dfrac{-1}{4}$. Do vậy ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
$S=\int_{-2}^{2}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|dx=\dfrac{16}{3}.}$
Khi đó ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx-5-4m{{x}^{3}}-3n{{x}^{2}}+9=-4m{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\left( a-n \right)+2bx+4.$
Do hàm số $y=f\left( x \right)-g\left( x \right)$ có ba điểm cực trị là -2;1;4
Nên ta suy ra $a\ne 0$ và ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=-4mx\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right).$
Ta có ${f}'\left( 0 \right)-{g}'\left( 0 \right)=-16m=4\Rightarrow m=\dfrac{-1}{4}$. Do vậy ${f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)$.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường $y={f}'\left( x \right)$ và $y={g}'\left( x \right)$ bằng
$S=\int_{-2}^{2}{\left| \dfrac{1}{2}\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|dx=\dfrac{16}{3}.}$
Đáp án C.