Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}-1$ có đồ thị $\left( C \right)$ và hàm số $y=g\left( x \right)=mx-m+2$ có đồ thị là đường thẳng d. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị tham số nguyên $m\in \left[ -20;20 \right]$ để đường thẳng d cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x\ge 1$. Số phần tử của tập S là
A. 17
B. 18
C. 19
D. 24
A. 17
B. 18
C. 19
D. 24
Phương trình hoành độ giao điểm là ${{3}^{x}}-1=m\left( x-1 \right)+2\Leftrightarrow {{3}^{x}}-3=m\left( x-1 \right)$
$\Leftrightarrow h\left( x \right)={{3}^{x}}-3-m\left( x-1 \right)=0$
Ta có ${h}'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-m$, nếu $-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 0$ thì ${h}'\left( x \right)>0\Rightarrow h\left( x \right)$ là hàm số đồng biến nên phương trình $h\left( x \right)=0$ có tối đa 1 nghiệm suy ra $m>0$.
Khi đó ${{3}^{x}}=\dfrac{m}{\ln 3}\Rightarrow x={{x}_{0}}={{\log }_{3}}\dfrac{m}{\ln 3}$, mặt khác $h\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow x=1$ là một nghiệm của phương trình.
Điều kiện bài toán thỏa mãn khi $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm $x\ge 1\Leftrightarrow {{x}_{0}}>1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{m}{\ln 3}>1\Leftrightarrow m>3\ln 3$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -20;20 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 17 giá trị của tham số m.
$\Leftrightarrow h\left( x \right)={{3}^{x}}-3-m\left( x-1 \right)=0$
Ta có ${h}'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-m$, nếu $-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 0$ thì ${h}'\left( x \right)>0\Rightarrow h\left( x \right)$ là hàm số đồng biến nên phương trình $h\left( x \right)=0$ có tối đa 1 nghiệm suy ra $m>0$.
Khi đó ${{3}^{x}}=\dfrac{m}{\ln 3}\Rightarrow x={{x}_{0}}={{\log }_{3}}\dfrac{m}{\ln 3}$, mặt khác $h\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow x=1$ là một nghiệm của phương trình.
Điều kiện bài toán thỏa mãn khi $h\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm $x\ge 1\Leftrightarrow {{x}_{0}}>1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{m}{\ln 3}>1\Leftrightarrow m>3\ln 3$.
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -20;20 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 17 giá trị của tham số m.
Đáp án A.