Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2019}}+\sqrt[3]{1+t}-\sqrt[3]{1-t}$. Cho hai số thực thay đổi x,y thuộc $\left( 0;1 \right]$ thoả mãn $f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)+f\left( -y-1 \right)=0$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-5\left( x+y \right)+{{m}^{2}}-2m \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tích các phần tử của S bằng
A. $-\dfrac{76}{9}$
B. $\dfrac{160}{9}$
C. $-\dfrac{17}{4}$
D. $-\dfrac{38}{9}$
A. $-\dfrac{76}{9}$
B. $\dfrac{160}{9}$
C. $-\dfrac{17}{4}$
D. $-\dfrac{38}{9}$
Ta có $f\left( -t \right)=-{{t}^{2019}}+\sqrt[3]{1-t}-\sqrt[3]{1+t}=-f\left( t \right)$ nên $f\left( t \right)$ là hàm số lẻ
Mặt khác ${f}'\left( t \right)=2018{{t}^{2}}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1+t \right)}^{2}}}}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}}>0 \left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Ta có: $f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)+f\left( -y-1 \right)=0\Leftrightarrow f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)=-f\left( -y-1 \right)\Leftrightarrow f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)=f\left( y+1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{5xy+1}{x+1}=y+1\Leftrightarrow 5xy+1=xy+x+y+1\Leftrightarrow x+y=4xy$
Khi đó $P=\left| 2\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \right]-5\left( x+y \right)+{{m}^{2}}-2m \right|=\left| 32{{\left( xy \right)}^{2}}-24xy+{{m}^{2}}-2m \right|$
Do $x,y\in \left( 0;1 \right]$ mà $x+y\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow 4xy\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge \dfrac{1}{4}$
Lại có $\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\Leftrightarrow xy+1\ge 4xy\Leftrightarrow xy\le \dfrac{1}{3}$
Đặt $u=xy\Rightarrow u\in \left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right]$ suy ra $P=\left| 32{{u}^{2}}-24u+{{m}^{2}}-2m \right|$
Xét $g\left( u \right)=32{{u}^{2}}-24u+{{m}^{2}}-2m\Rightarrow {g}'\left( u \right)=64u-24<0 \left( \forall u\in \left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right] \right)$
Mặt khác giá trị lớn nhất của P nhỏ nhất khi $\underset{\left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right]}{\mathop{\text{M}ax}} g\left( u \right)+\underset{\left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right]}{\mathop{\text{M}in}} g\left( u \right)=0$
Suy ra $g\left( \dfrac{1}{4} \right)+g\left( \dfrac{1}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-\dfrac{76}{9}=0\xrightarrow{Viet}{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\dfrac{-38}{9}$.
Mặt khác ${f}'\left( t \right)=2018{{t}^{2}}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1+t \right)}^{2}}}}+\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( 1-t \right)}^{2}}}}>0 \left( \forall t\in \mathbb{R} \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Ta có: $f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)+f\left( -y-1 \right)=0\Leftrightarrow f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)=-f\left( -y-1 \right)\Leftrightarrow f\left( \dfrac{5xy+1}{x+1} \right)=f\left( y+1 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{5xy+1}{x+1}=y+1\Leftrightarrow 5xy+1=xy+x+y+1\Leftrightarrow x+y=4xy$
Khi đó $P=\left| 2\left[ {{\left( x+y \right)}^{2}}-2xy \right]-5\left( x+y \right)+{{m}^{2}}-2m \right|=\left| 32{{\left( xy \right)}^{2}}-24xy+{{m}^{2}}-2m \right|$
Do $x,y\in \left( 0;1 \right]$ mà $x+y\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow 4xy\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge \dfrac{1}{4}$
Lại có $\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\Leftrightarrow xy+1\ge 4xy\Leftrightarrow xy\le \dfrac{1}{3}$
Đặt $u=xy\Rightarrow u\in \left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right]$ suy ra $P=\left| 32{{u}^{2}}-24u+{{m}^{2}}-2m \right|$
Xét $g\left( u \right)=32{{u}^{2}}-24u+{{m}^{2}}-2m\Rightarrow {g}'\left( u \right)=64u-24<0 \left( \forall u\in \left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right] \right)$
Mặt khác giá trị lớn nhất của P nhỏ nhất khi $\underset{\left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right]}{\mathop{\text{M}ax}} g\left( u \right)+\underset{\left[ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3} \right]}{\mathop{\text{M}in}} g\left( u \right)=0$
Suy ra $g\left( \dfrac{1}{4} \right)+g\left( \dfrac{1}{3} \right)=0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-\dfrac{76}{9}=0\xrightarrow{Viet}{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\dfrac{-38}{9}$.
Đáp án D.