Google
Câu hỏi: Cho hàm số đa thức $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình vẽ sau
Hàm số $g\left( x \right)=4f\left( {{x}^{2}}-1 \right)+{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. $\left( 2;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;-2 \right)$.
C. $\left( -2;-1 \right)$.
D. $\left( 0;2 \right)$.
A. $\left( 2;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;-2 \right)$.
C. $\left( -2;-1 \right)$.
D. $\left( 0;2 \right)$.
.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=8x.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)+4{{x}^{3}}-4x=4x\left( 2{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right)$.
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-1 \right) \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{x}^{2}}-1$.
Khi đó: $\left( * \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}t$
Vẽ đồ thị của hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và đường thẳng $d:y=-\dfrac{1}{2}t$ lên cùng hệ trục tọa độ $Oty$
Dựa vào đồ thị trên, ta được:${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}t\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-2 \\
& t=0 \\
& t=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1=-2 \\
& {{x}^{2}}-1=0 \\
& {{x}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 1 \\
& x=\pm \sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu:
Dựa vào bảng xét dấu của ${g}'\left( x \right)$, ta suy ra $g\left( x \right)$ đồng biến trên từng khoảng $\left( -\sqrt{5};-1 \right), \left( 0;1 \right), \left( \sqrt{5};+\infty \right)$.
Hay $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=8x.{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)+4{{x}^{3}}-4x=4x\left( 2{f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)+\left( {{x}^{2}}-1 \right) \right)$.
Suy ra ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {f}'\left( {{x}^{2}}-1 \right)=-\dfrac{1}{2}\left( {{x}^{2}}-1 \right) \left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $t={{x}^{2}}-1$.
Khi đó: $\left( * \right)$ trở thành ${f}'\left( t \right)=-\dfrac{1}{2}t$
Vẽ đồ thị của hàm số $y={f}'\left( t \right)$ và đường thẳng $d:y=-\dfrac{1}{2}t$ lên cùng hệ trục tọa độ $Oty$
& t=-2 \\
& t=0 \\
& t=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-1=-2 \\
& {{x}^{2}}-1=0 \\
& {{x}^{2}}=5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm 1 \\
& x=\pm \sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu:
Hay $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -2;-1 \right)$.
Đáp án C.