Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( 1;+\infty...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng

(1; + \infty)

và thỏa mãn

(x f^{'} (x) - 2 f (x)) \ln x = x^{3} - f (x), \forall x \in (1; + \infty)

; biết

f (\sqrt[3]{e}) = 3 e

. Giá trị

f (2)

thuộc khoảng nào dưới đây?
A.

(12; \frac{25}{2})

.
B.

(13; \frac{27}{2})

.
C.

(\frac{23}{2}; 12)

.
D.

(14; \frac{29}{2})

.

Vì

x \in (1; + \infty)

nên ta có

(x^{2} f^{'} (x) - 2 x f (x)) \ln x = x^{4} - x f (x)

\Leftrightarrow (\frac{x^{2} f^{'} (x) - 2 x f (x)}{x^{4}}) \ln x = 1 - \frac{f (x)}{x^{3}}

\Rightarrow {(\frac{f (x)}{x^{2}})}^{'} \ln x = 1 - \frac{f (x)}{x^{3}} \Leftrightarrow \int {(\frac{f (x)}{x^{2}})}^{'} \ln x d x = \int (1 - \frac{f (x)}{x^{3}}) d x

\Leftrightarrow \frac{f (x) \ln x}{x^{2}} - \int \frac{f (x)}{x^{3}} d x = x - \int \frac{f (x)}{x^{3}} d x + C

\Leftrightarrow \frac{f (x) \ln x}{x^{2}} = x + C \Leftrightarrow \frac{f (x) \ln x}{x^{2}} = x + C \Leftrightarrow f (x) = \frac{x^{2} (x + C)}{\ln x}

.
Theo đề bài

f (\sqrt[3]{e}) = 3 e \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = \frac{x^{3}}{\ln x} f (2) = \frac{8}{\ln 2} \in (\frac{23}{2}; 12)

.

Đáp án C.