Cho hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)$ có đồ thị $\left( P...

Cách 1: Đặt $\{\begin{array}{rl}& u=2x-3\\ & \text{d}v=f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \text{d}u=2\text{d}x\\ & v=f\left(x\right)\end{array}$.
Ta có: $\underset{2}{\overset{7}{\int }}(2x-3)f^{\prime }\left(x\right)\text{d}x={\left[(2x-3)f\left(x\right)\right]|}_2^7-2\underset{2}{\overset{7}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$
$=11f\left(7\right)-f\left(2\right)-2[{\displaystyle \frac{(5+10).5}{2}}-{\displaystyle \frac{125}{6}}]={\displaystyle \frac{215}{3}}$.
Cách 2: Dựa vào đồ thị ta có điểm $A(2;5)$ và $B(7;10)$ thuộc đường thẳng $d$ và Parabol $\left(P\right)$
Suy ra đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(5;5)$
Phương trình đường thẳng $d:y=x+3$
Gọi $\left(P\right)$ có phương trình: $y=a{x}^2+bx+c,(a>0)$
$A,B\in \left(P\right)\Rightarrow$ Hệ phương trình: $\{\begin{array}{rl}& 4a+2b+c=5\\ & 49a+7b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& c=-4a-2b+5\\ & 49a+7b+5-4a-2b=10\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& c=-4a-2b+5\\ & b=1-9a\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& c=3+14a\\ & b=1-9a\end{array}$
Hình phẳng giới hạn bởi $\left(P\right)$ và $d$ có diện tích $S={\displaystyle \frac{125}{6}}$
$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \underset{2}{\overset{7}{\int }}|x+3-(a{x}^2+bx+c)|dx={\displaystyle \frac{125}{6}}\\ & \Rightarrow \underset{2}{\overset{7}{\int }}|x+3-[a{x}^2+(1-9a)x+(3+14a)]|dx={\displaystyle \frac{125}{6}}\\ & \iff \underset{2}{\overset{7}{\int }}[-a{x}^2+9ax-14a]dx={\displaystyle \frac{125}{6}}\iff {(-{\displaystyle \frac{a{x}^3}{3}}+{\displaystyle \frac{9a{x}^2}{2}}-14ax)|}_2^7={\displaystyle \frac{125}{6}}\\ & \iff {\displaystyle \frac{125}{6}}a={\displaystyle \frac{125}{6}}\iff a=1\Rightarrow b=-8;c=17\end{array}$
$\left(P\right)$ có phương trình: $y=f\left(x\right)=x^2-8x+17\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=2x-8$
$\Rightarrow \underset{2}{\overset{7}{\int }}(2x-3)f^{\prime }\left(x\right)dx={\displaystyle \frac{215}{3}}$