Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc hai $y=f\left( x \right)$ có đồ thị $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$ cắt tại hai điểm như trong hình bên. Biết rằng hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ có diện tích $S=\dfrac{125}{6}$. Tích phân $\int\limits_{2}^{7}{\left( 2x-3 \right){f}'\left( x \right)}dx$ bằng
A. $\dfrac{215}{3}$.
B. $\dfrac{265}{3}$.
C. $\dfrac{245}{3}$.
D. $\dfrac{415}{3}$.
B. $\dfrac{265}{3}$.
C. $\dfrac{245}{3}$.
D. $\dfrac{415}{3}$.
Cách 1: Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=2x-3 \\
& \text{d}v={f}'\left( x \right)\text{d}x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=2\text{d}x \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\int\limits_{2}^{7}{\left( 2x-3 \right){f}'\left( x \right)}\text{d}x=\left. \left[ \left( 2x-3 \right)f\left( x \right) \right] \right|_{2}^{7}-2\int\limits_{2}^{7}{f\left( x \right)}\text{d}x$
$=11f\left( 7 \right)-f\left( 2 \right)-2\left[ \dfrac{\left( 5+10 \right).5}{2}-\dfrac{125}{6} \right]=\dfrac{215}{3}$.
Cách 2: Dựa vào đồ thị ta có điểm $A\left( 2; 5 \right)$ và $B\left( 7; 10 \right)$ thuộc đường thẳng $d$ và Parabol $\left( P \right)$
Suy ra đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 5; 5 \right)$
Phương trình đường thẳng $d:y=x+3$
Gọi $\left( P \right)$ có phương trình: $y=a{{x}^{2}}+bx+c,(a>0)$
$A,B\in \left( P \right)\Rightarrow $ Hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b+c=5 \\
& 49a+7b+c=10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4a-2b+5 \\
& 49a+7b+5-4a-2b=10 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4a-2b+5 \\
& b=1-9a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=3+14a \\
& b=1-9a \\
\end{aligned} \right.$
Hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ có diện tích $S=\dfrac{125}{6}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left| x+3-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right) \right|dx}=\dfrac{125}{6} \\
& \Rightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left| x+3-\left[ a{{x}^{2}}+\left( 1-9a \right)x+\left( 3+14a \right) \right] \right|dx}=\dfrac{125}{6} \\
& \Leftrightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left[ -a{{x}^{2}}+9ax-14a \right]dx}=\dfrac{125}{6}\Leftrightarrow \left. \left( -\dfrac{a{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{9a{{x}^{2}}}{2}-14ax \right) \right|_{2}^{7}=\dfrac{125}{6} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{125}{6}a=\dfrac{125}{6}\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=-8;c=17 \\
\end{aligned}$
$\left( P \right)$ có phương trình: $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-8x+17\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x-8$
$\Rightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left( 2x-3 \right){f}'\left( x \right)}dx=\dfrac{215}{3}$
& u=2x-3 \\
& \text{d}v={f}'\left( x \right)\text{d}x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{d}u=2\text{d}x \\
& v=f\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $\int\limits_{2}^{7}{\left( 2x-3 \right){f}'\left( x \right)}\text{d}x=\left. \left[ \left( 2x-3 \right)f\left( x \right) \right] \right|_{2}^{7}-2\int\limits_{2}^{7}{f\left( x \right)}\text{d}x$
$=11f\left( 7 \right)-f\left( 2 \right)-2\left[ \dfrac{\left( 5+10 \right).5}{2}-\dfrac{125}{6} \right]=\dfrac{215}{3}$.
Cách 2: Dựa vào đồ thị ta có điểm $A\left( 2; 5 \right)$ và $B\left( 7; 10 \right)$ thuộc đường thẳng $d$ và Parabol $\left( P \right)$
Suy ra đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left( 5; 5 \right)$
Phương trình đường thẳng $d:y=x+3$
Gọi $\left( P \right)$ có phương trình: $y=a{{x}^{2}}+bx+c,(a>0)$
$A,B\in \left( P \right)\Rightarrow $ Hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned}
& 4a+2b+c=5 \\
& 49a+7b+c=10 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4a-2b+5 \\
& 49a+7b+5-4a-2b=10 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=-4a-2b+5 \\
& b=1-9a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=3+14a \\
& b=1-9a \\
\end{aligned} \right.$
Hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và $d$ có diện tích $S=\dfrac{125}{6}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left| x+3-\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right) \right|dx}=\dfrac{125}{6} \\
& \Rightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left| x+3-\left[ a{{x}^{2}}+\left( 1-9a \right)x+\left( 3+14a \right) \right] \right|dx}=\dfrac{125}{6} \\
& \Leftrightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left[ -a{{x}^{2}}+9ax-14a \right]dx}=\dfrac{125}{6}\Leftrightarrow \left. \left( -\dfrac{a{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{9a{{x}^{2}}}{2}-14ax \right) \right|_{2}^{7}=\dfrac{125}{6} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{125}{6}a=\dfrac{125}{6}\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=-8;c=17 \\
\end{aligned}$
$\left( P \right)$ có phương trình: $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-8x+17\Rightarrow {f}'\left( x \right)=2x-8$
$\Rightarrow \int\limits_{2}^{7}{\left( 2x-3 \right){f}'\left( x \right)}dx=\dfrac{215}{3}$
Đáp án A.