Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc bốn $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}{{\left[ f\left( x+1 \right) \right]}^{4}}$ là
A. 9.
B. 7.
C. 5.
D. 8.
A. 9.
B. 7.
C. 5.
D. 8.
$g'\left( x \right)=2x.{{f}^{4}}\left( x+1 \right)+{{x}^{2}}.4f'\left( x+1 \right).{{f}^{3}}\left( x+1 \right)=2x.{{f}^{3}}\left( x+1 \right).\left[ f\left( x+1 \right)+2x.f'\left( x+1 \right) \right]$
Do đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x.f\left( x+1 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& f\left( x+1 \right)+2x.f'\left( x+1 \right)=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Số nghiệm của (1) chính là số nghiệm của phương trình $x.f\left( x \right)=0\Rightarrow $ có 5 nghiệm phân biệt
Dựa vào BBT, ta được $f\left( x \right)=-5{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}-2\Rightarrow f'\left( x \right)=-20{{x}^{3}}+20x$
Đặt $t=x+1$ nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)+2\left( t-1 \right).f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left( -5{{t}^{4}}+10{{t}^{2}}-2 \right)+2\left( t-1 \right).\left( -20{{t}^{3}}+20t \right)=0$
Phương trình này có 4 nghiệm phân biệt t nên có 4 nghiệm phân biệt x.
Vậy hàm số đã cho có 5 + 4 = 9 điểm cực trị.
Do đó $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x.f\left( x+1 \right)=0 \left( 1 \right) \\
& f\left( x+1 \right)+2x.f'\left( x+1 \right)=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Số nghiệm của (1) chính là số nghiệm của phương trình $x.f\left( x \right)=0\Rightarrow $ có 5 nghiệm phân biệt
Dựa vào BBT, ta được $f\left( x \right)=-5{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}-2\Rightarrow f'\left( x \right)=-20{{x}^{3}}+20x$
Đặt $t=x+1$ nên $\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)+2\left( t-1 \right).f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left( -5{{t}^{4}}+10{{t}^{2}}-2 \right)+2\left( t-1 \right).\left( -20{{t}^{3}}+20t \right)=0$
Phương trình này có 4 nghiệm phân biệt t nên có 4 nghiệm phân biệt x.
Vậy hàm số đã cho có 5 + 4 = 9 điểm cực trị.
Đáp án A.