Cho hàm số bậc ba ${y=f(x)}$ có ${f'(1)=3}$ và có đồ thị như hình...

Do yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta chỉ xét ${x>0}$.
Giả sử ${f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}$. Vì đồ thị đi qua các điểm ${A(-\dfrac{5}{4};\dfrac{131}{64})}$, ${B(0;4)}$, ${C(1;5)}$ nên ta có ${\left\{\begin{aligned}&-\dfrac{125}{64}a+\dfrac{25}{16}b-\dfrac{5}{4}c+d=\dfrac{131}{64}\\&d=4\\&a+b+c+d=5.\end{aligned}\right.\quad (1)}$
Ta có ${f'(1)=3 \Leftrightarrow 3a+2b+c=3}$. ${\quad (2)}$
Từ ${(1)}$ và ${(2)}$ ta có ${a=1}$, ${b=0}$, ${c=0}$, ${d=4}$, suy ra ${f(x)=x^3+4}$.
Điều kiện ${\dfrac{f(x)}{3mx^2}>0\Rightarrow m>0}$.
${\begin{aligned}& & \ln\dfrac{f(x)}{3mx^2}+x\left[f(x)-3mx\right]=3mx^3-f(x)\\&\Leftrightarrow & \ln f(x)-\ln\left(3mx^2\right)+x\left[f(x-3mx^2)\right])+f(x)-3mx^2=0. \quad (3)\end{aligned}}$
Nếu ${f(x)>mx^2}$ thì ${\log f(x)>\log (mx^2)}$ và ${xf(x)>x(mx^2),\forall x>0\Rightarrow (3)}$ vô nghiệm.
Tương tự nếu ${f(x)<mx^2}$ thì phương trình ${(3)}$ vô nghiệm.
Do đó ${f(x)=3mx^2\Leftrightarrow x^3+4=3mx^2\Leftrightarrow \dfrac{x^3+4}{3x^2}=m}$, vì ${x>0}$.
Xét hàm số ${g(x)=\dfrac{x^3+4}{3x^2}}$ với ${x>0}$.
${g'(x)=\dfrac{3x^4-24x}{9x^4}= 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&x=0\\&x=2.\end{aligned}\right.}$
Vì ${x>0}$ nên ta nhận ${x=2}$. Ta có bảng biến thiên
Để phương trình ${\dfrac{x^3+4}{3x^2}=m}$ có hai nghiệm dương phân biệt thì ${m>1}$.
Mà ${m\in\mathbb{Z}}$ và ${m\in\left[-10;10\right]}$ nên ${m\in\{2;3;...;10\}}$. Vậy có ${9}$ giá trị nguyên của tham số ${m}$ thoả yêu cầu bài toán.