Google
Câu hỏi: Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right) \right|=\dfrac{m+1}{10-m}$ có 10 nghiệm phân biệt?
A. 9
B. 5
C. Vô số.
D. 6
A. 9
B. 5
C. Vô số.
D. 6
Xét phương trình: $\left| f\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right) \right|=\dfrac{m+1}{10-m}$ (1).
Đặt $t={{x}^{3}}-3\text{x}$, ta có: ${t}'=3{{\text{x}}^{2}}-3,{t}'=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Ứng với mỗi giá trị $t>2$ hoặc $t<-2$ thì phương trình ${{x}^{3}}-3\text{x}=t$ có một nghiệm x duy nhất.
Ứng với mỗi giá trị $t=2$ hoặc $t=-2$ thì phương trình ${{x}^{3}}-3\text{x}=t$ có 2 nghiệm x.
Ứng với mỗi giá trị $-2<t<2$ thì phương trình ${{x}^{3}}-3\text{x}=t$ có 3 nghiệm x.
Phương trình (1) trở thành $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{m+1}{10-m}$ với $t\in \mathbb{R}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ như sau:
(trong đó $f\left( a \right)>1$ ),
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ để phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right) \right|-\dfrac{m+1}{10-m}=0$ có 10 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{m+1}{10-m}$ có 6 nghiệm thỏa mãn ${{t}_{1}}<-2<{{t}_{2}}<{{t}_{3}}<2<{{t}_{4}}<{{t}_{5}}<{{t}_{6}}$.
Hay $0<\dfrac{m+1}{10-m}<1\Leftrightarrow -1<m<\dfrac{9}{2}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$.
Đặt $t={{x}^{3}}-3\text{x}$, ta có: ${t}'=3{{\text{x}}^{2}}-3,{t}'=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có:
Ứng với mỗi giá trị $t>2$ hoặc $t<-2$ thì phương trình ${{x}^{3}}-3\text{x}=t$ có một nghiệm x duy nhất.
Ứng với mỗi giá trị $t=2$ hoặc $t=-2$ thì phương trình ${{x}^{3}}-3\text{x}=t$ có 2 nghiệm x.
Ứng với mỗi giá trị $-2<t<2$ thì phương trình ${{x}^{3}}-3\text{x}=t$ có 3 nghiệm x.
Phương trình (1) trở thành $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{m+1}{10-m}$ với $t\in \mathbb{R}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ ban đầu, ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ như sau:
(trong đó $f\left( a \right)>1$ ),
Từ bảng biến thiên của hàm số $y=\left| f\left( t \right) \right|$ để phương trình $\left| f\left( {{x}^{3}}-3\text{x} \right) \right|-\dfrac{m+1}{10-m}=0$ có 10 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left| f\left( t \right) \right|=\dfrac{m+1}{10-m}$ có 6 nghiệm thỏa mãn ${{t}_{1}}<-2<{{t}_{2}}<{{t}_{3}}<2<{{t}_{4}}<{{t}_{5}}<{{t}_{6}}$.
Hay $0<\dfrac{m+1}{10-m}<1\Leftrightarrow -1<m<\dfrac{9}{2}$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$.
Đáp án B.