Cho hàm số bậc ba $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên...

Trước hết ta thấy hàm số không phải là hàm số hằng và có đồ thị đối xứng trục tung nên hàm số luôn đạt cực trị tại điểm .
Hàm số có hai điểm cực trị là .
Ta có .
Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn
.
Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn
.
Do đó hàm số có tối đa 5 điểm cực trị, nên để hàm số có 5 điểm cực trị thì . Suy ra có tất cả giá trị nguyên dương của tham số thoả mãn bài toán.